Cho bốn chữ số khác nhau và khác 0 là $a,b,c,d$. Nếu $\overline{ab}+\overline{cd}=\overline{dc}+\overline{ba}$ thì biểu thức này được gọi là biểu thức đối xứng đảo chữ số, và tổng hai số $\overline{ab}+\overline{cd}$ được gọi là tổng đối xứng đảo chữ số. Ví dụ, $53+46=64+35=99$. Giá trị nhỏ nhất có thể của một tổng như vậy là bao nhiêu?
Trong hình dưới đây, diện tích hình thang $ABCD$ bằng 100 cm$^2$, diện tích hình bình hành $ABEF$ bằng 40 cm$^2$ và $CD=10$ cm. Độ dài $AB$, tính bằng cm, là bao nhiêu?
Bốn quân cờ giống nhau được đặt lên bàn cờ $4\times4$ tô đen trắng xen kẽ như hình dưới đây. Mỗi ô được đặt nhiều nhất một quân cờ. Tất cả các quân cờ phải nằm trên các ô cùng màu và không có hai quân nào cùng hàng hoặc cùng cột. Có bao nhiêu cách đặt các quân cờ?
Trong hình dưới đây, $ABCD$ là hình vuông và điểm $G$ nằm trên cạnh $CD$. Lật tam giác $BCG$ qua đường thẳng $BG$ để được tam giác mới $BEG$. Nếu $\angle CBG=32^\circ$ thì số đo $\angle DAE$, tính bằng độ, là bao nhiêu?
Điền 9 số nguyên dương khác nhau vào các ô vuông đơn vị của hình vuông $3\times3$ dưới đây, mỗi ô một số, sao cho tổng các số trong mọi hình vuông $2\times2$ đều bằng 50. Giá trị nhỏ nhất có thể của tổng 9 số nguyên là bao nhiêu?
Độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn, tính bằng cm, là các số nguyên liên tiếp. Biết một đường cao ứng với một cạnh dài 12 cm. Diện tích tam giác này, tính bằng cm$^2$, là bao nhiêu?
Sắp xếp tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn 30 và không chia hết cho 3 theo thứ tự tăng dần, rồi tính tổng các nghịch đảo của tích từng bộ ba số liên tiếp trong dãy, tức là $S=\frac1{1\times2\times4}+\frac1{2\times4\times5}+\cdots+\frac1{26\times28\times29}$. Nếu rút gọn $S$ thành phân số tối giản thì tử số bằng bao nhiêu?
Trong hình dưới đây, tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn $O$. Các điểm $E,F$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB,AD$ sao cho $BE=CD$ và $DF=BC$. Nếu $M$ là trung điểm của $EF$, hãy chứng minh rằng $BM\perp DM$.
Một robot có thể tạo ra một tập hợp các mã số theo những hướng dẫn hợp lý của người dùng. Wayne đưa ra các yêu cầu sau:
(1) Mỗi mã là một số có bốn chữ số (chữ số ngoài cùng bên trái khác 0).
(2) Hai mã bất kỳ trong tập hợp có chữ số giống nhau ở nhiều nhất hai vị trí tương ứng.
Tìm số mã lớn nhất trong một tập hợp mà robot có thể tạo ra.
