IMAS 2014–2015 — Junior — Vòng 2

Biểu thức nào sau đây bằng $(a+1)(b-1)+(b+1)(c-1)+(c+1)(a-1)$?

Trong tam giác $ABC$, $D$ là trung điểm của $BC$. $E$ là một điểm tùy ý trên $CA$, còn $F$ là trung điểm của $BE$. Nếu diện tích tam giác $ABC$ bằng 120 cm² và diện tích tứ giác $AFDC$ bằng 80 cm², diện tích tam giác $BDF$ bằng bao nhiêu cm²?

Cho $m$ là số nguyên dương sao cho $m^3$ biểu diễn được thành tổng của $m$ số nguyên lẻ liên tiếp. Chẳng hạn $2^3=3+5$, $3^3=7+9+11$ và $4^3=13+15+17+19$. Nếu 999 là một trong các số nguyên lẻ liên tiếp trong biểu diễn của $m^3$, giá trị của $m$ là bao nhiêu?

Chu vi một tam giác đều là $a$ cm, còn chu vi một hình vuông là $b$ cm. Nếu diện tích hình vuông bằng một nửa diện tích tam giác, giá trị của $\frac{a^2}{b^2}$ là bao nhiêu?

Mindy có hai hộp lần lượt chứa 0 và $n$ viên kẹo, trong đó $n$ là số nguyên dương. Bạn ấy lần lượt thêm 4, 3 và 2 viên kẹo vào một trong hai hộp, luôn thêm vào hộp đang có ít kẹo hơn. Nếu hai hộp có số kẹo bằng nhau, bạn ấy thêm vào hộp nào cũng được. Cuối cùng, một hộp có nhiều hơn hộp kia 1 viên kẹo. Có bao nhiêu giá trị có thể của $n$?

Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực sao cho $x^2+5x-3$ là một nhân tử của đa thức $x^3+ax^2+bx+c$. Giá trị của $a+b+2c$ là bao nhiêu?

Có bao nhiêu bộ ba số nguyên $(x,y,z)$ thỏa mãn $|xyz|=6$?

Trong tam giác $ABC$, $AB=7$ cm, $AC=8$ cm và $BC=9$ cm. Đường tròn tâm $A$ cắt $AB$ tại $F$ và $AC$ tại $E$. Hai đường tròn tâm $B$ và $C$, có bán kính lần lượt là $BF$ và $CE$, tiếp xúc nhau tại điểm $D$ trên $BC$. Tổng diện tích của ba hình tròn này bằng bao nhiêu cm²? (Lấy $\pi=3.14$.)

Hàng thứ nhất có 2 quân đếm, mỗi hàng tiếp theo có nhiều hơn hàng trước 1 quân. Nếu tổng cộng có 2015 quân đếm thì có bao nhiêu hàng?

Trong một hội chợ sách, ban tổ chức tặng mỗi người tham gia một cuốn sách. Mỗi nam tham gia tặng mỗi nam khác một cuốn sách, và mỗi nữ tham gia tặng mỗi nữ khác một cuốn sách. Nếu tổng số sách nam giới nhận được nhiều hơn tổng số sách nữ giới nhận được 31 cuốn, có tất cả bao nhiêu người tham gia?

$D$ là điểm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ sao cho $\angle BAD=76^\circ$. Khi lấy điểm $C'$ đối xứng với $C$ qua $AD$, tứ giác $ABC'D$ là hình bình hành. Số đo góc $\angle ADC$ bằng bao nhiêu độ?

Cho $k$ là số nguyên khác 0 sao cho phương trình $x+\frac{9k^2-81}{x}=10k$ có hai nghiệm nguyên phân biệt. Hiệu của nghiệm lớn trừ nghiệm nhỏ bằng bao nhiêu?

Các số nguyên 1, 2, 3, …, 20 được chia thành hai nhóm. Tổng tất cả các số trong một nhóm bằng $n$, còn tích tất cả các số trong nhóm kia cũng bằng $n$. Giá trị lớn nhất của $n$ là bao nhiêu?

$E$ là điểm trên cạnh $BC$ và $F$ là điểm trên cạnh $CD$ của hình vuông $ABCD$ sao cho chu vi tam giác $CEF$ bằng một nửa chu vi hình vuông $ABCD$. $G$ là điểm trên $AE$ sao cho $FG$ vuông góc với $AE$, và $H$ là điểm trên $FG$ sao cho $AH=EF$. Chứng minh $AH$ vuông góc với $EF$.

Mỗi cạnh của một tam giác đều được chia thành 5 phần bằng nhau bởi 4 điểm. Qua các điểm này kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác, chia tam giác thành 25 tam giác đều nhỏ. Một tetriamond là hình gồm 4 tam giác đều nhỏ ghép cạnh với cạnh. Có ba loại tetriamond như hình phía dưới bên trái.



(a) Chỉ ra rằng nếu tô màu 7 tam giác nhỏ thì có thể không đặt được bất kỳ tetriamond nào bên trong tam giác lớn mà không che lên bất cứ phần nào của các tam giác nhỏ đã tô màu. (4 điểm)



(b) Chứng minh rằng nếu tô màu 6 tam giác nhỏ thì luôn có thể đặt một tetriamond bên trong tam giác lớn mà không che lên bất cứ phần nào của các tam giác nhỏ đã tô màu. (16 điểm)