Câu hỏi 14
Số thập phân tuần hoàn có các chữ số lặp theo chu kỳ: từ một vị trí nào đó, cùng một dãy chữ số lặp lại liên tục. Ví dụ $\frac{1234}{9999}=0.12341234\ldots=0.\overline{1234}$. Để tính tổng các chữ số trong một chu kỳ, ngoài cách cộng trực tiếp, còn có phương pháp sau:
(a) Biết chu kỳ thập phân của $\frac1{17}$ dài $16$ chữ số; được phép sử dụng điều này. Để tính tổng các chữ số trong chu kỳ, giả sử $\frac1{17}=\frac{A}{10^{16}-1}$, với số nguyên dương $A$ biểu diễn chu kỳ. Vì chu kỳ dài $16$, $10^{16}-1$ chia hết cho $17$, còn $10^k-1$ không chia hết cho $17$ với $1\le k<16$. Vì $17$ là số nguyên tố, theo định lý Fermat nhỏ, $10^{16}\equiv1\pmod{17}$. Do đó $10^{16/2}=10^8\equiv\pm1\pmod{17}$. Hãy viết tiếp chứng minh để cho thấy đáp án là $72$. (5 điểm)
(b) Biết chu kỳ thập phân của $\frac1{179}$ dài $178$ chữ số; được phép sử dụng điều này. Tổng các chữ số trong chu kỳ của $\frac1{179}$ bằng bao nhiêu? Hãy dùng phương pháp tương tự phần (a). (15 điểm)
(a) Biết chu kỳ thập phân của $\frac1{17}$ dài $16$ chữ số; được phép sử dụng điều này. Để tính tổng các chữ số trong chu kỳ, giả sử $\frac1{17}=\frac{A}{10^{16}-1}$, với số nguyên dương $A$ biểu diễn chu kỳ. Vì chu kỳ dài $16$, $10^{16}-1$ chia hết cho $17$, còn $10^k-1$ không chia hết cho $17$ với $1\le k<16$. Vì $17$ là số nguyên tố, theo định lý Fermat nhỏ, $10^{16}\equiv1\pmod{17}$. Do đó $10^{16/2}=10^8\equiv\pm1\pmod{17}$. Hãy viết tiếp chứng minh để cho thấy đáp án là $72$. (5 điểm)
(b) Biết chu kỳ thập phân của $\frac1{179}$ dài $178$ chữ số; được phép sử dụng điều này. Tổng các chữ số trong chu kỳ của $\frac1{179}$ bằng bao nhiêu? Hãy dùng phương pháp tương tự phần (a). (15 điểm)