Câu hỏi 2
Hãy xem xét tổng của ba bảng dưới đây. đại diện đầu tiên $n$ dòng, đầu tiên với $n$ số bằng $n$, thứ hai với $n-1$ số bằng $n-1$ và như vậy. Thứ hai, chúng ta có một phân phối số tương tự, nhưng trong các cột thay vì các hàng. Thứ ba, chúng ta có các đường chéo số này, đường chéo đầu tiên có một số $1$, hai số thứ hai bằng $2$, ba số thứ ba bằng $3$ và như vậy.
Kết quả của tổng ba bảng sẽ là một bảng có cùng số các số và với mỗi vị trí là kết quả của tổng các vị trí tương ứng trong ba bảng. Ví dụ, ở góc trên bên trái, chúng ta sẽ có số $n+n+1=2n+1$.
a) Một cách để kiểm tra có bao nhiêu số trong mỗi bảng là lật ngược một số và nối với một số khác để tạo thành một hình chữ nhật với $n$ hàng và gấp đôi số lượng trong một bảng. Biết điều này, có bao nhiêu số trong một bảng?
b) Mỗi số xuất hiện bao nhiêu lần? $k$ Trong cả ba bảng?
c) Đối với mỗi vị trí, dòng $i$ và cột $j$, xác định các số được ghi trên đó trong ba bảng và trong bảng kết quả.
d) Sử dụng thông tin trong các mục trước đó, kiểm tra xem
$$
1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+(n-1)^{2}+n^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)
$$
Kết quả của tổng ba bảng sẽ là một bảng có cùng số các số và với mỗi vị trí là kết quả của tổng các vị trí tương ứng trong ba bảng. Ví dụ, ở góc trên bên trái, chúng ta sẽ có số $n+n+1=2n+1$.
a) Một cách để kiểm tra có bao nhiêu số trong mỗi bảng là lật ngược một số và nối với một số khác để tạo thành một hình chữ nhật với $n$ hàng và gấp đôi số lượng trong một bảng. Biết điều này, có bao nhiêu số trong một bảng?
b) Mỗi số xuất hiện bao nhiêu lần? $k$ Trong cả ba bảng?
c) Đối với mỗi vị trí, dòng $i$ và cột $j$, xác định các số được ghi trên đó trong ba bảng và trong bảng kết quả.
d) Sử dụng thông tin trong các mục trước đó, kiểm tra xem
$$
1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+(n-1)^{2}+n^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)
$$