MathNet 1968 — Phần 01

Các đường trung tuyến chia một tam giác thành 6 hình tam giác nhỏ hơn. 4 trong số các đường tròn nội tiếp trong các hình tam giác nhỏ hơn có bán kính bằng nhau. Chứng minh tam giác ban đầu là đều.

$\{a_i\}$ và $\{b_i\}$ là hoán vị của $\{1/1, 1/2, \dots, 1/n\}$. $a_1 + b_1 \geq a_2 + b_2 \geq \ldots \geq a_n + b_n$. Chứng minh rằng với mọi $m$ ($1 \leq m \leq n$), $a_m + b_m \geq \dfrac{4}{m}$.

Một hình bát giác có góc bằng nhau. Độ dài của các cạnh đều là số nguyên. Chứng minh rằng các cạnh đối nhau bằng nhau theo cặp.

Trình tự $\{a_n\}$ được định nghĩa như sau: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 1 / a_n$ cho $n \geq 1$. Chứng minh rằng $a_{100} \gt 14$.

Cho một tam giác $ABC$ và $D$ trên đoạn thẳng $AB$, $E$ trên đoạn thẳng $AC$, sao cho $AD = DE = AC$, $BD = AE$ và $DE$ song song với $BC$. Chứng minh rằng $BD$ bằng cạnh của một 10-gon thông thường được nội tiếp trong một đường tròn có bán kính $AC$.

Sự khác biệt giữa các đường chéo dài nhất và ngắn nhất của $n$-GON thông thường bằng với cạnh của nó. Tìm tất cả có thể $n$.

Chứng minh rằng chúng ta có thể tìm thấy các số nguyên dương $x$, $y$ thỏa mãn $x^{2} + x + 1 = p y$ cho vô số số nguyên tố $p$.

Cái nào lớn hơn: $31^{11}$ hoặc $17^{14}$? [Không cho phép máy tính!]

Cho một tứ diện $ABCD$ thông thường, chứng minh rằng nó được chứa trong ba hình cầu trên đường kính $AB$, $BC$ và $AD$. Điều này có đúng với bất kỳ tứ diện nào không?

Một bán kính hình tròn $100$ được vẽ trên giấy vuông với các ô vuông đơn vị. Nó không chạm vào bất kỳ đường lưới nào hoặc đi qua bất kỳ điểm mạng nào. Số ô vuông tối đa có thể đi qua là bao nhiêu?

Vòng tròn nội tiếp tam giác $ABC$ chạm cạnh $AC$ tại $K$. Chứng minh rằng đường thẳng nối trung điểm của $AC$ với tâm đường tròn chia đôi đoạn $BK$.

Có một bộ cân trên bàn và một tập hợp các trọng số. Mỗi trọng lượng là trên một trong hai chảo. Mỗi trọng số có tên của một hoặc nhiều học sinh được viết trên đó. Tất cả các học sinh ở bên ngoài phòng. Nếu một học sinh bước vào phòng thì anh ta sẽ di chuyển tạ có tên của anh ta trên chúng sang chảo khác. Chứng minh rằng bạn có thể cho một tập hợp con học sinh vào một tập hợp con để thay đổi vị trí sau khi đồng tử cuối cùng đã di chuyển trọng lượng của mình.

Trong một nhóm sinh viên, $50$ nói tiếng Anh, $50$ nói tiếng Pháp và $50$ nói tiếng Tây Ban Nha. Một số học sinh nói nhiều hơn một ngôn ngữ. Chứng minh có thể chia học sinh thành các nhóm $5$ (không nhất thiết phải bằng nhau), để trong mỗi nhóm $10$ nói tiếng Anh, $10$ nói tiếng Pháp và $10$ nói tiếng Tây Ban Nha.

Các cạnh và đường chéo của $ABCD$ có độ dài hữu tỉ. Các đường chéo gặp nhau tại $O$. Chứng minh rằng độ dài $AO$ cũng là hữu tỉ.

Chứng minh rằng: $$
\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{4}{x^{2} - 4} + \frac{6}{x^{2} - 9} + \ldots + \frac{20}{x^{2} - 100} =
$$ $$
\frac{11}{(x - 1)(x + 10)} + \frac{11}{(x - 2)(x + 9)} + \ldots + \frac{11}{(x - 10)(x + 1)}.
$$

điểm đã cho $O$ Bên trong tam giác nhọn $ABC$, và điểm $O'$ Bên trong tam giác nhọn $A'B'C'$. $D$, $E$, $F$ là bàn chân của đường vuông góc từ $O$ đến $BC$, $CA$, $AB$ tương ứng, và $D'$, $E'$, $F'$ là bàn chân của đường vuông góc từ $O'$ đến $B'C'$, $C'A'$, $A'B'$ tương ứng. $OD$ song song với $O'A'$, $OE$ song song với $O'B'$ và $OF$ song song với $O'C'$. Cũng vậy $OD - O'A' = OE - O'B' = OF - O'C'$. Chứng minh rằng $O'D'$ song song với $OA$, $O'E'$ đến $OB$ và $O'F'$ đến $OC$, và điều đó $O'D' \cdot OA = O'E' \cdot OB = O'F' \cdot OC$.

Các đường phố trong một thành phố nằm trên một lưới hình chữ nhật với $m$ Đường Đông Tây và $n$ Đường Bắc Nam. Được biết, một chiếc ô tô sẽ rời khỏi một số điểm giao nhau (không xác định) và di chuyển dọc theo các đường phố với tốc độ không xác định và có thể thay đổi, cuối cùng quay trở lại điểm xuất phát của nó mà không bao giờ di chuyển dọc theo cùng một khu nhà hai lần. Máy dò có thể được định vị ở bất cứ đâu ngoại trừ ở một ngã ba để ghi lại thời gian xe đi qua và hướng di chuyển của nó. Số lượng máy dò tối thiểu cần thiết để đảm bảo rằng tuyến đường của ô tô có thể được xây dựng lại?

9 giám khảo mỗi giải 20 thí sinh đạt thứ hạng từ 1 đến 20. Điểm của thí sinh là tổng các bậc từ 9 giám khảo, và người thắng cuộc là thí sinh có điểm thấp nhất. Đối với mỗi thí sinh, sự khác biệt giữa thứ hạng cao nhất và thấp nhất (từ các giám khảo khác nhau) là 3. Điểm cao nhất mà người chiến thắng có thể đạt được là bao nhiêu?