MathNet 2009-part-05 — 172 bài (EN–VI)

Tính tổng:
$$
11^{2}-1^{2}+12^{2}-2^{2}+13^{2}-3^{2}+\ldots+20^{2}-10^{2}
$$

Cho $a + b + c = 5$ và $1 \leq a, b, c \leq 2$. Giá trị nhỏ nhất có thể của $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c}$ là bao nhiêu?

Chu kỳ của hàm số $f(x) = \cos(\cos(x))$ là bao nhiêu?

Có bao nhiêu tập con $A$ của $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ có tính chất: không có hai phần tử nào của $A$ có tổng bằng $11$?

Một khối đa diện có các mặt đều là tam giác hoặc hình vuông. Không có hai mặt hình vuông nào chung cạnh, và không có hai mặt tam giác nào chung cạnh. Tỉ số giữa số mặt tam giác và số mặt hình vuông là bao nhiêu?

Tìm giá trị lớn nhất của $x+y$, biết rằng $x^{2}+y^{2}-3y-1=0$.

Có 15 viên đá được xếp thành một hàng. Có bao nhiêu cách đánh dấu 5 viên đá trong số đó sao cho giữa hai viên đá bất kỳ được đánh dấu luôn có một số lẻ viên đá?

Cho tam giác đều $\triangle ABC$ có chiều cao $13$, và gọi $O$ là tâm của nó. Chọn ngẫu nhiên một điểm $X$ trong số tất cả các điểm bên trong $\triangle ABC$. Biết rằng hình tròn bán kính $1$ tâm $X$ nằm hoàn toàn bên trong $\triangle ABC$, xác suất để hình tròn này chứa $O$ là bao nhiêu?

Một tập điểm được gọi là lồi nếu các điểm đó là các đỉnh của một đa giác lồi (tức là đa giác không tự cắt có mọi góc nhỏ hơn hoặc bằng $180^{\circ}$). Gọi $S$ là tập các điểm $(x, y)$ với $x$, $y$ là các số nguyên thỏa mãn $1 \leq x, y \leq 26$. Tìm số cách chọn một tập con lồi của $S$ gồm đúng 98 điểm.

Tính
$$
\prod_{n=0}^{\infty}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{3^{n}}+\left(\frac{1}{4}\right)^{3^{n}}\right)
$$

Tính
$$
1 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 4^{2} + \cdots + 19 \cdot 20^{2}
$$

Nếu $f(x) = \frac{x}{x+1}$, thì $f(f(f(f(2009))))$ bằng bao nhiêu?

Cho biết $\sin A + \sin B = 1$ và $\cos A + \cos B = 3/2$. Giá trị của $\cos (A - B)$ là bao nhiêu?

Một quân mã bắt đầu từ ô dưới cùng bên trái của một bàn cờ vua tiêu chuẩn. Sau đúng 2009 nước đi hợp lệ của quân mã, quân mã có thể kết thúc ở bao nhiêu ô? (Một nước đi của quân mã là đi 2 ô theo chiều ngang hoặc chiều dọc, rồi đi 1 ô theo hướng vuông góc với hướng thứ nhất.)

Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên $(n, m)$ của phương trình
$$
2^{3^{n}} = 3^{2^{m}} - 1
$$

Xét một hình vuông, bên trong nội tiếp một đường tròn, bên trong đường tròn đó nội tiếp một hình vuông, bên trong hình vuông đó lại nội tiếp một đường tròn, và cứ tiếp tục như vậy, với hình vuông ngoài cùng có cạnh bằng $1$. Tìm hiệu giữa tổng diện tích các hình vuông và tổng diện tích các hình tròn.

Rút gọn: $i^{0} + i^{1} + \cdots + i^{2009}$.

Một hình lập phương có cạnh bằng $1$. Tìm tích độ dài các đường chéo của hình lập phương này (đường chéo là đoạn thẳng nối hai đỉnh mà không phải là một cạnh).

Tanks có một chồng gồm 5 lá bài xanh và 5 lá bài đỏ. Mỗi buổi sáng, bạn ấy lấy một lá bài và ném xuống giếng. Xác suất để lá bài đầu tiên và lá bài cuối cùng bị ném xuống giếng có cùng màu là bao nhiêu?

Có bao nhiêu cách tô màu phân biệt cho mỗi đỉnh của một tứ diện bằng một trong ba màu đỏ, xanh dương hoặc xanh lá sao cho không có mặt nào có cả ba đỉnh cùng màu? (Hai cách tô được coi là như nhau nếu có thể quay cách tô này trong không gian ba chiều để được cách tô kia.)