MYTS 2016 - Lớp 8 - Vòng 2

Cho lục giác đều $ABCDEF$, với $G$ là trung điểm của $FA$, còn $I$ là điểm trên đường chéo $CF$ sao cho $IC=\frac13IF$. Chứng minh rằng tam giác $IGE$ đều.

Biết rằng $\alpha$ là nghiệm duy nhất của đa thức $P(x)=x^3+9x-5$; và $\beta$ là nghiệm thực duy nhất của đa thức $Q(x)=x^3-15x^2+84x-165$. Chứng minh rằng $\alpha+\beta=5$.

Bác Dư chép lên bảng các số tự nhiên từ 1 đến $n$. Do sơ suất, bác Dư quên viết một số tự nhiên nên trung bình cộng của các số trên bảng là $\frac{599}{17}$. Hỏi bác Dư đã quên viết số nào?

Ở xứ sở Magic Wood chỉ có ba loài vật: có 12 con rắn, 23 con chuột và 31 con mèo. Hễ khi con rắn ăn con mèo thì nó biến thành con chuột, nhưng khi con mèo ăn con chuột thì nó biến thành con rắn. Hơn nữa, khi con rắn ăn con chuột, nó biến thành con mèo. Hỏi nhiều nhất có bao nhiêu con vật ở Magic Wood khi không con nào ăn con nào nữa?

Giả sử $K$ là một bộ số gồm mười số, không nhất thiết khác nhau, sao cho mỗi số trong $K$ đều bằng tổng bình phương của tất cả chín số còn lại. Hãy tìm tất cả những bộ số $K$ như vậy.

Cho tam giác $ABC$ với $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Một đường thẳng đi qua $A$ cắt $DE,DF$ tại $M,N$ tương ứng. Gọi $P$ là giao điểm của $BM$ và $CN$. Chứng minh rằng ba điểm $E,F,P$ thẳng hàng.

Xung quanh một bờ hồ hình tròn có trồng 5 cây dừa. Người ta nhận thấy rằng các độ lệch chiều cao giữa hai cây liên tiếp bất kỳ luôn bằng nhau. Chứng minh rằng cả năm cây đều có cùng chiều cao.

Xác định tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\frac{7n-12}{2^n}+\frac{2n-14}{3^n}+\frac{24n}{6^n}=1$.