Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, gọi $M$ là trung điểm của $OB$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AB$ cắt đường tròn tại $C$. Lấy $E$ trên đoạn $AB$, khác $A,B$; $CE$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai $D$. Từ $B$ hạ đường vuông góc với $CD$ tại $H$.
a) Chứng minh $CH=\dfrac12AD$.
b) $BH$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai $F$. Gọi $I$ là trung điểm $DF$. Chứng minh $I$ nằm trên một đường tròn cố định khi $E$ thay đổi.
Cho các số thực đôi một phân biệt $a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$P=\frac{(a-b)^4}{(b-c)^2(c-a)^2}+\frac{(b-c)^4}{(c-a)^2(a-b)^2}+\frac{(c-a)^4}{(a-b)^2(b-c)^2}.$$
Cho tập hợp $M$ gồm 2024 phần tử là các số dương $a_1,a_2,\ldots,a_{2024}$. Xét tất cả các tập con khác rỗng $T_i$ của $M$, gọi $s_i$ là tổng các số thuộc $T_i$. Chứng minh có thể chia tập hợp tất cả các số $s_i$ thành 2024 tập con khác rỗng không giao nhau, sao cho tỉ số của hai số bất kỳ trong cùng một tập vừa phân chia không vượt quá 2.
Một số tự nhiên được gọi là siêu chẵn nếu tất cả các chữ số của nó đều chẵn. Hỏi có bao nhiêu số có bốn chữ số là số siêu chẵn mà khi nhân số đó với 3, kết quả cũng là một số siêu chẵn?