VTMO 2026 - Lớp 8 - Chung kết - SET 1 - Tự luyện tập

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=120^\circ$. Các đường phân giác $AD$, $BE$ và $CF$. Chứng minh rằng $DE\perp DF$.

a) Cho $a\ne b$, $b\ne c$, $c\ne a$ và $abc\ne0$. Tính giá trị của biểu thức $\frac1a+\frac1b+\frac1c$, biết rằng $a(a-b)=b(b-c)=c(c-a)$.

b) Các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa hệ thức $a+b=b(a-c)$, trong đó $c+1$ là bình phương một số nguyên tố. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai số $a+b$ hoặc $ab$ là số chính phương.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC=2AB$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $CM$ cắt $BC$ tại $D$. Tính $\frac{BD}{DC}$.

Có 4 quả cầu có khối lượng lần lượt là: 1 g, 2 g, 3 g, 5 g. Có một cái cân điện tử có thể cân bất kỳ khối lượng nào. Hãy chứng minh rằng chỉ cần đúng 2 lần thì có thể xác định được khối lượng từng quả cầu.

Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $(a+b)(c+d)=2$, $(a+c)(b+d)=3$ và $(a+d)(b+c)=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2+c^2+d^2$.