VTMO 2026 - Lớp 10 - Bán kết - SET 1 - Tự luyện tập

Cho dãy đường tròn $(O_1;r_1),(O_2;r_2),(O_3;r_3),\ldots$ tiếp xúc với hai cạnh của góc $xOy$ và các đường tròn liên tiếp tiếp xúc ngoài với nhau như hình vẽ. Biết $r_1=1$, $r_2=2$. Tính $r_{2020}$.

Cho $X=\{a_1,a_2,\ldots,a_{100}\}$ là tập hợp gồm 100 số thực. Đặt $D=\{a_i-a_j\mid a_i,a_j\in X,\ i\ne j\}$. Tập $D$ có ít nhất bao nhiêu phần tử?

Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $x^3-3x=y^3-3y=z^3-3z$. Tính $x^2+y^2+z^2$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường tròn tâm $K$ đi qua $A(2,3)$ và $B(22,33)$, cắt trục hoành tại $C,D$ có hoành độ dương và $CD=2$. Trung điểm của $CD$ là $M(t,0)$. Tính $t$.

Các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm số thực nhỏ nhất $k$ sao cho nếu $\min\{a+b,b+c,c+a\}>k$ thì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Có 5 đội tham gia một giải bóng đá vòng tròn một lượt: mỗi cặp đội gặp nhau một lần. Đội thắng được 3 điểm, đội thua 0 điểm; nếu hòa thì mỗi đội được 1 điểm. Sau một số trận, cả năm đội đều có điểm dương và điểm số đôi một khác nhau. Ít nhất đã có bao nhiêu trận đấu?

Cho đa giác đều có 20 đỉnh $A_1,A_2,\ldots,A_{20}$ theo thứ tự quanh đa giác. Ban đầu tại $A_1,A_2$ viết dấu trừ, tại các đỉnh còn lại viết dấu cộng. Mỗi lượt đổi đồng thời dấu ở năm đỉnh liên tiếp: trừ thành cộng và cộng thành trừ; tính liên tiếp theo vòng quanh đa giác. Có thể sau một số lượt thu được dấu trừ đúng tại $A_3,A_4$ và dấu cộng ở tất cả các đỉnh còn lại không? Vì sao?

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $\angle DAB=90^\circ$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD$ và biết $\angle DAN=\angle NAM=\angle MAB$. Chứng minh $\angle DCB=60^\circ$.

Cho hình thang có độ dài bốn cạnh lần lượt là $6,7,8,9$. Gọi $S$ là diện tích của hình thang. Tính $S^2-2020$.

Cho hình vuông $ABCD$ có $AB=4$ cm. Các điểm $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$. Các điểm $X,Y,Z,T$ lần lượt là trung điểm của $AM,BN,CP,DQ$. Tính diện tích phần giao của hai hình vuông $MNPQ$ và $XYZT$.

Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB=4$ cm, $BC=6$ cm; góc nhọn giữa hai đường chéo bằng $45^\circ$. Tính diện tích hình bình hành theo cm².

Xét $f(x)=|x^2+20x+a-2020|$ trên đoạn $[-4,0]$. Tìm $a$ để giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn này đạt giá trị nhỏ nhất.

Số nguyên dương $A$ được gọi là đẹp nếu $2A$ là số chính phương và $3A$ là số lập phương. Gọi $S$ là tập hợp các số đẹp $A\le10000$. Tập $S$ có bao nhiêu phần tử?

Cho cấp số cộng hữu hạn $a_1,a_2,\ldots,a_{6n+1}$ thỏa mãn $a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{6n+1}=320$ và $a_1+a_4+a_7+\cdots+a_{6n+1}=224$. Tính $a_1+a_2+\cdots+a_{6n+1}$.

Số hạng đầu tiên của một dãy số là $x$. Mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng trước nhân 2 rồi cộng 4. Nếu số hạng thứ tư là 100, hãy tìm $x$.

Tam thức bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị là parabol như hình vẽ. Tìm số nguyên lớn nhất $m$ để phương trình $f(f(f(x)))=m$ có đúng tám nghiệm thực phân biệt.

Cho 100 số nguyên dương phân biệt. Một cặp không xét thứ tự được gọi là cặp số đẹp nếu tỉ số của số lớn với số nhỏ bằng 2 hoặc 3. Nhiều nhất có thể tạo được bao nhiêu cặp số đẹp? Một số có thể thuộc nhiều cặp khác nhau.