AMO 2021 – Junior College (Lớp 11–12)

Tính $\sin^2 10^\circ+\sin^2 20^\circ+\sin^2 30^\circ+\sin^2 40^\circ+\sin^2 50^\circ+\sin^2 60^\circ+\sin^2 70^\circ+\sin^2 80^\circ$. Năm phương án dưới đây lần lượt tương ứng với các phương án 1–5 của đề gốc.

Biết $f(x)=x^3(a\cdot2^x-2^{-x})$ là hàm số chẵn. Tìm $a$.

Hai góc nhọn $\alpha,\beta$ thỏa mãn $2\tan\alpha+3\sin\beta=7$ và $\tan\alpha-6\sin\beta=1$. Tính $\sin\alpha$.

Cấp số nhân $(a_n)$ thỏa mãn $a_5a_6=4$. Tính $\log_2a_1+\cdots+\log_2a_{10}$. Theo điều kiện xác định của các lôgarit trong biểu thức, cả mười số hạng đều dương.

Đa thức $x^4-3x^3+5x^2+ax+b$ chia hết cho $x^2-2x+1$. Tính $ab$.

Trong khai triển $(\sqrt[3]x+\sqrt x)^{50}$, có bao nhiêu số hạng có số mũ của $x$ là số nguyên?

Cho cấp số cộng $(A_n)$. Tổng $S_{2m-1}$ của $2m-1$ số hạng đầu bằng $19$ và $A_{m-1}+A_{m+1}-A_m^2=1$. Tìm $m$.

Có bao nhiêu cặp số nguyên có thứ tự $(x,y)$ thỏa mãn $x^{2022}+y^2=2y$?

Biết $\log_a b+\log_b a=3$ và $a>b>1$. Tính $\log_a b-\log_b a$.

$A(1,3)$ và $B(3,m)$ nằm trên đồ thị $y=k/x$. Tìm hoành độ của điểm $P$ trên trục hoành để $PA+PB$ nhỏ nhất.

Biết $x^2/2+y^2/3=4$. Tìm giá trị lớn nhất của $x+y$.

Biết $\sqrt[3]{5+x}+\sqrt[3]{5-x}=1$. Tính $x^2$.

Hình nón tròn xoay có đỉnh $P$, bán kính đáy $\sqrt3$ inch và chiều cao $1$ inch. Hai điểm $E,F$ nằm trên đường tròn đáy. Tìm diện tích lớn nhất của tam giác $PEF$, tính bằng inch vuông.

Tiếp tục quy luật các hình lục giác chấm như trong hình. Hình thứ 99 có bao nhiêu chấm?

Các lôgarit đều xác định và $2\log(a-b)=\log(2a)+\log(3b)$. Tính $a/b$.

Tính $80M^2$, với $M=\dfrac{\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}}{\sqrt{5-2\sqrt6}-\sqrt{5+2\sqrt6}}$.

Với mọi số thực $x\ne0$, ta có $2f(x)+f(1/x)=2$. Tính $30f(x)$.

Hình thang $ABCD$ có $CD\parallel AB$, $AD=15$ cm, $AB=22$ cm, $BC=13$ cm và $CD=8$ cm. Tính diện tích hình thang theo xentimét vuông.

Parabol $y=-x^2+2x+3$ cắt các trục tại $A,B$ như hình. Điểm $E$ nằm trên nửa trục hoành dương. Đường thẳng đứng qua trung điểm của $OE$ cắt $BE$ tại $N$ và parabol tại $M$, với $MN=5/2$. Tổng các hoành độ dương có thể có của $E$ bằng $a+b\sqrt c$, viết ở dạng rút gọn với $a,b$ nguyên và $c$ nguyên dương không chứa thừa số chính phương lớn hơn $1$. Tính $abc$.

Hình vuông có bảy phép đối xứng khác phép đồng nhất: bốn phép đối xứng trục và các phép quay $90^\circ,180^\circ,270^\circ$. Xuất phát từ đỉnh $P$, thực hiện liên tiếp bốn phép biến đổi được chọn độc lập, đều nhau trong bảy phép trên. Xác suất để bốn vị trí nhận được chính là bốn đỉnh bằng $k/7^4$. Tìm $k$. Làm rõ: phiên bản này xét các vị trí sau bước 1, 2, 3, 4, không tính vị trí ban đầu. Đề gốc không nói rõ điểm này; lời giải trình bày cả hai cách hiểu.