AMO 2017 Trung học 3 (Lớp 9)

Các số nguyên âm tượng trưng cho viên Lạnh, số nguyên dương tượng trưng cho viên Nóng. Thêm năm viên Nóng làm nhiệt độ chất lỏng tăng năm độ; thêm năm viên Lạnh làm nhiệt độ giảm năm độ. Cần lấy ra bao nhiêu viên Lạnh để nhiệt độ tăng từ $-97$ độ lên $-42$ độ?

Tìm $k$, biết $k=5.6(5.6+0.4)+0.4(5.6+0.4)$.

Số đối xứng là số không đổi khi đảo thứ tự các chữ số. Tìm tổng các chữ số $x$ sao cho tổng hai số có bốn chữ số $\overline{43xx}+\overline{xx34}$ là số đối xứng.

Tính $\sqrt{3^6}-\sqrt[3]{-3^6}$.

Các số nguyên dương được xếp mỗi hàng năm số, đổi chiều qua từng hàng như hình. Tìm tổng số thứ tự hàng và cột chứa số $2019$. Trong hình, “row” là hàng và “column” là cột.

Một sợi dây uốn thành hình vuông có diện tích $324\text{ cm}^2$. Duỗi thẳng dây, cắt thành các đoạn bằng nhau rồi ghép thành mười hai cạnh của một hình lập phương, không thừa dây. Tính thể tích hình lập phương theo $\text{cm}^3$.

Gấp hình khai triển gồm sáu hình vuông mang số thành hình lập phương. Tìm tích lớn nhất của ba số trên ba mặt cùng gặp nhau tại một đỉnh.

Có bao nhiêu số chính phương nằm giữa $7^6$ và $4^8$, không tính hai đầu mút?

Tô đỏ một số cạnh của hình lập phương sao cho mỗi mặt có đúng một cạnh đỏ. Có bao nhiêu cạnh được tô đỏ?

$1001$ là tích của ba số nguyên tố khác nhau. Có bao nhiêu ước dương của $1001$ không phải số nguyên tố?

Có bao nhiêu cách điền chữ số vào hai chỗ trống của $9\_5\_$ để được bội của $11$? Các chữ số có thể lặp lại.

Biết $2016=P^A Q^B R^C$, trong đó $P,Q,R$ là số nguyên tố và $A,B,C$ là số nguyên dương. Tính $A+B+C$.

Xét tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn $x^y=256$. Tìm hiệu dương giữa tổng các tọa độ $x$ và tổng các tọa độ $y$, tính mỗi tọa độ một lần cho mỗi cặp nghiệm.

Làm rõ: lời giải nguồn dùng cách đếm theo từng cặp nghiệm, nên giá trị $y$ lặp lại vẫn được cộng thêm.

Viết $\sqrt{\frac1{64}-\frac1{289}}=\frac ab$ ở dạng tối giản, với $a,b$ là số nguyên dương. Tính $b-a$.

Sáu bạn nam có chiều cao khác nhau đứng thành hai hàng, mỗi hàng ba người. Mỗi bạn cao hơn mọi bạn bên trái mình trong cùng hàng và cao hơn bạn đứng ngay trước mình, nếu có. Có bao nhiêu cách sắp xếp?

Điền các số nguyên từ $1$ đến $10$ vào mười hình tròn, mỗi số dùng một lần. Mỗi số trong ba hàng trên bằng hiệu dương của hai số nằm ngay bên dưới. Tính $A+B$.

Một vòng quay có năm phần bằng nhau mang số $1,2,3,4,5$. Quay một lần. Nếu được số chính phương thì tung đồng xu cân đối một lần; nếu được số nguyên tố thì tung hai lần. Các lần tung độc lập. Xác suất xuất hiện ít nhất một mặt ngửa là $p/q$ tối giản. Tính $p+q$.

Jethro lát sàn $10\text{ cm}\times15\text{ cm}$ bằng các viên gạch hình J như hình, mỗi viên gồm sáu ô vuông $1\text{ cm}\times1\text{ cm}$. Có thể xoay viên gạch nhưng không cắt hoặc chồng lên nhau. Diện tích nhỏ nhất không được phủ, theo $\text{cm}^2$, là bao nhiêu?

Cách hiểu: các viên gạch đặt theo lưới ô vuông đơn vị, như cách xếp trong nguồn.

Có bao nhiêu số nguyên dương có bốn chữ số khác nhau, đều khác $0$, và tổng các chữ số bằng $15$?

Hai hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên dương chồng lên nhau như hình; hai cạnh hình vuông nhỏ nằm trên hai cạnh hình vuông lớn. Phần tô hình chữ L có diện tích $45$ đơn vị vuông. Tìm tổng ba độ dài cạnh có thể có của hình vuông nhỏ.