Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Biết $abcd$ khác không, $c,d$ là các nghiệm của $x^2+ax+b=0$ và $a,b$ là các nghiệm của $x^2+cx+d=0$. Biểu thức nào bằng $(a+b+c+d)^2$?
Hai đội A và B, mỗi đội có 7 người, thi đấu bóng bàn. Người thua bị loại; người thắng ở lại gặp người tiếp theo của đội đối phương. Cuộc đấu dừng ngay khi một đội bị loại hết. Có bao nhiêu diễn biến khác nhau của cuộc đấu?
Quy ước đếm trong bài tự luyện: mỗi đội có thứ tự người chơi cố định. Đếm dãy kết quả các trận, không đếm hoán vị đội hình; nguồn không nói rõ việc đếm đội hình.
Trong tam giác $KLM$, các đường phân giác trong $KN,LP$ cắt nhau tại $Q$, với $N$ thuộc $LM$, $P$ thuộc $KM$. Điểm $M$ nằm trên đường tròn qua $P,Q,N$. Biết $PN=2$, tính $PQ$.
Cách nhập đáp án: dùng sqrt(...) cho căn bậc hai, * cho phép nhân và / cho phép chia, không dùng dấu cách. Bộ kiểm tra chỉ nhận các dạng chính xác được liệt kê sẵn; đúng cú pháp này không bảo đảm nhận mọi biểu thức tương đương. Dạng tương đương chưa được nhận phải được kiểm tra thủ công, không được coi là sai hoặc cho 0 điểm chỉ vì chưa được nhận.
Biết $y=\dfrac{2\sin\alpha}{1+\cos\alpha+\sin\alpha}$, tính
$$\frac{1-\cos\alpha+\sin\alpha}{1+\sin\alpha}.$$
Chỉ xét các góc mà phân thức đã cho và phân thức cần tính đều xác định.
Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a^2+3a+1=0$ và $b^2+3b+1=0$. Tính $a/b+b/a$.
Điểm chưa rõ của nguồn: giả thiết không nói a và b phân biệt. Giữ nguyên câu hỏi đã in; hãy nêu mọi giá trị có thể và giải thích liệu có xác định được một giá trị duy nhất hay không. Câu này được chấm thủ công.
Dãy $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ có $a_1=a_2=2$ và, với mọi $n=2,3,4,\ldots$,
$$\frac{2a_{n-1}a_n}{a_{n-1}a_{n+1}-a_n^2}=n^3-n.$$
Tìm số nguyên gần nhất với $\displaystyle\sum_{k=2}^{2011}\frac{a_{k+1}}{a_k}$.
Đường thẳng $PMN$ đi qua tâm $O$ của một đường tròn, với $P,M,O,N$ theo thứ tự đó, $M,N$ thuộc đường tròn và $PM=MN$. Một tia từ $P$ cắt đường tròn lần lượt tại $A,B$ như hình. Tính
$$\frac{AM\cdot BM}{AN\cdot BN}.$$
Viết kết quả dưới dạng số thập phân có một chữ số sau dấu phẩy.
Hình nguồn gốc, giữ nguyên các nhãn toán học và cách bố trí.
Hình vẽ cho một bảng chữ nhật $5\times6$ với một hình chữ nhật $1\times2$ bị khuyết ở giữa. Có bao nhiêu hình vuông trong bảng?
Quy ước đếm: đếm các hình vuông có đường bao đủ bốn cạnh tạo bởi các đoạn lưới đã in, kể cả khi chúng bao quanh phần khuyết ở giữa. Không đếm hình vuông cần một đoạn biên đã bị xóa.
Hình nguồn gốc, giữ nguyên các nhãn toán học và cách bố trí.
Trong hình thoi $ABCD$, đường tròn qua $A,B,C$ có bán kính 6, còn đường tròn qua $A,B,D$ có bán kính 2. Tính diện tích hình thoi $ABCD$.
Cách nhập đáp án: dùng phân số tối giản a/b hoặc số thập phân có dấu chấm. Bộ kiểm tra chỉ nhận các dạng chính xác được liệt kê sẵn; không bảo đảm nhận mọi dạng tương đương về đại số. Dạng tương đương chưa được nhận phải được kiểm tra thủ công, không được coi là sai hoặc cho 0 điểm chỉ vì chưa được nhận.
Cho $a^2+b^2=2019c^2$, trong đó $a,b,c$ là các cạnh của một tam giác và $\alpha,\beta,\gamma$ lần lượt là các góc đối diện. Tính
$$\frac{\cot\gamma}{\cot\alpha+\cot\beta}.$$
Cho $A=(1,2)$. Một đường thẳng qua $(5,-2)$ cắt đường cong $y^2=4x$ tại $B,C$. Tam giác $ABC$ là:
Quy ước không suy biến: B,C là hai giao điểm thực phân biệt và đều khác A, để ABC thực sự là tam giác. Câu hỏi yêu cầu loại tam giác được bảo đảm bởi giả thiết.
