Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Hình vẽ cho thấy một phần đồ thị $y=x(x-2)^2$, đi qua $A(1,1)$ và tiếp xúc với trục hoành tại $B(2,0)$. Tìm phương trình tiếp tuyến tại $A$.
Đính chính hình nguồn: dùng B(2,0), đúng phần chữ đã in và phương trình. Hình gốc ghi nhầm B(0,2). Đoạn đỏ OA trong hình không phải tiếp tuyến cần tìm.
Hình gốc, giữ đủ các nhãn toán học đã in và điểm không nhất quán của hình nguồn đã công bố nếu có.
Cho $x$ là số thực dương. Đặt
$$m=\lfloor\log_{10}x\rfloor,\qquad n=\left\lfloor\log_{10}\frac{100}{x}\right\rfloor.$$
Ký hiệu $\lfloor z\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $4m^2-3n^2$.
Khi mở thêm 3 phòng học, sĩ số trung bình mỗi lớp giảm 10 học sinh. Khi mở thêm 6 phòng học, sĩ số trung bình mỗi lớp giảm 16 học sinh. Tìm tổng số học sinh.
Hiểu cả hai mức tăng số phòng học đều so với số lớp ban đầu, với tổng số học sinh không đổi trong từng tình huống.
Tính tổng chuỗi vô hạn
$$1-\frac16+\frac{1\cdot3}{2!}\left(\frac16\right)^2-\frac{1\cdot3\cdot5}{3!}\left(\frac16\right)^3+\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7}{4!}\left(\frac16\right)^4-\cdots.$$
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ thỏa mãn đồng thời: (a) có đúng ba thừa số nguyên tố phân biệt; (b) có đúng tám ước nguyên dương và tổng các ước ấy bằng 3696.
Một học sinh làm các bài kiểm tra I, II, III. Học sinh được coi là thành công nếu đỗ cả I và II hoặc đỗ cả I và III. Xác suất đỗ từng bài lần lượt là $p,q,1/2$. Nếu xác suất thành công bằng $1/2$, cặp $p,q$ nào sau đây phù hợp?
Phiên bản tự luyện có điều kiện: giả sử ba biến cố đỗ độc lập lẫn nhau. Nguồn không nêu tính độc lập; nếu thiếu điều kiện ấy, nhiều cặp đã liệt kê có thể phù hợp. Hãy chọn theo giả thiết bổ sung này.
Cho $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-3x-3=0$. Tính
$$\left|\sin^2(\alpha+\beta)-3\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta)-3\cos^2(\alpha+\beta)\right|.$$
Ký hiệu $|x|$ là giá trị tuyệt đối.
Một bài kiểm tra có 100 câu. Mỗi câu đúng được 4 điểm, sai bị $-1$ điểm, bỏ trống được 0 điểm. Có bao nhiêu tổng điểm khác nhau có thể đạt được? Tổng điểm có thể âm.
$ABCDE$ là ngũ giác đều. Một đường tròn được vẽ qua hình, tiếp xúc với $CD$ tại $D$ và với $AB$ tại $A$. Cung nhỏ $AD$ có số đo bằng bao nhiêu, tức góc ở tâm chắn cung ấy bằng bao nhiêu?
Hiểu cụm từ nguồn “góc tạo bởi cung nhỏ AD” là số đo cung ấy, tương đương góc ở tâm chắn cung, không phải góc nội tiếp.
Hình gốc, giữ đủ các nhãn toán học đã in và điểm không nhất quán của hình nguồn đã công bố nếu có.
Ba thị trấn $X,Y,Z$ có tọa độ lần lượt là $(0,0),(200,0),(0,300)$ và có tương ứng 100, 200, 300 học sinh. Xây một trường học tại điểm lưới $(x,y)$, trong đó $x,y$ là các số nguyên, sao cho tổng quãng đường đi của tất cả học sinh nhỏ nhất. Tính $x+y$.
Dùng khoảng cách Euclid theo đường thẳng trong mặt phẳng; mỗi học sinh đi từ thị trấn của mình đến trường.
Cho $x=\sin\alpha$, $y=\sin\beta$ và $z=\sin(\alpha+\beta)$. Tìm $\cos(\alpha+\beta)$.
Miền xác định cho câu tự luyện này: x và y đều khác 0. So sánh các phương án như các đẳng thức đúng trên toàn miền ấy. Nguồn bỏ sót điều kiện này dù các phương án có mẫu x hoặc xy.
