Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Cho tam giác $ABC$. Các hình vuông $ABDE$ và $ACFG$ lần lượt được dựng ra ngoài trên các cạnh $AB$ và $AC$. Tìm tỉ số $BG:CE$.
Tam giác $ABC$ cân với $AB=1$ và $\angle A=90^\circ$. Các điểm $E,F$ lần lượt thuộc $AC,BC$, với $FE\perp BE$. Biết $AE=2/5$, viết diện tích tam giác $CEF$ dưới dạng $m/n$, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m+n$.
Một túi có chín quả bóng giống nhau ngoài số ghi trên bóng: $1,2,\ldots,9$. A bốc ngẫu nhiên một quả, ghi số $a$, rồi trả lại túi. B tiếp tục bốc ngẫu nhiên một quả và ghi số $b$. Xác suất để $a-2b+10>0$ là bao nhiêu?
Rút gọn biểu thức sau thành phân số tối giản nhỏ hơn 1. Tìm mẫu số trừ tử số.
$$1-\frac2{1(1+2)}-\frac3{(1+2)(1+2+3)}$$
$$-\frac4{(1+2+3)(1+2+3+4)}-\cdots-\frac{100}{(1+\cdots+99)(1+\cdots+100)}.$$
Tổng bình phương của 50 số nguyên lẻ liên tiếp bằng 300850. Tìm số nguyên lẻ lớn nhất có bình phương là số hạng cuối của tổng này.
Cách hiểu: xếp các số nguyên liên tiếp theo thứ tự tăng dần và tìm giá trị lớn nhất có thể của số hạng cuối trong mọi dãy thỏa mãn dữ kiện. Nguồn không yêu cầu các số nguyên phải dương.
Cho $x_i\in\{\sqrt2-1,\sqrt2+1\}$ với $i=1,2,\ldots,2012$. Đặt
$$S=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{2009}x_{2010}+x_{2011}x_{2012}.$$
$S$ có thể nhận bao nhiêu giá trị nguyên dương khác nhau?
Andrew và Bob chơi với một chồng 2022 lá bài úp: 1001 lá đen, còn lại màu trắng. Mỗi lượt rút liên tiếp hai lá và không trả lại. Nếu lá đầu đen, lá sau trắng thì Andrew thắng; nếu lá đầu trắng, lá sau đen thì Bob thắng. Nếu hai lá cùng màu, chơi tiếp lượt sau. Gọi xác suất Andrew thắng là $x$. Tìm $\lfloor2022x\rfloor$.
Mô hình xác suất: bộ bài úp được xáo ngẫu nhiên, mọi thứ tự các lá đều có khả năng như nhau.
Nguồn ghi: “Trong tam giác $ABC$, $D$ là trung điểm của $AB$ và $E$ là trung điểm của $BD$. Điểm $F$ thuộc $AB$ sao cho $E$ thuộc $CF$. Nếu $BF=5$, tính $BA$.” Đáp án nguồn ghi 15. Hãy phân tích đúng cấu hình đã in và giải thích tính nhất quán của đáp án đó.
Cảnh báo nguồn: điều kiện thuộc đường thẳng đã in và bảng đáp án mâu thuẫn. Giữ nguyên tên các đoạn như đã in; xem xét khả năng hai điểm mang tên khác nhau trùng nhau. Trình bày phân tích có lý do, không đoán cách sửa đề. Câu này được chấm thủ công.
Gán một số thực cho mỗi đỉnh của hình lập phương $ABCDEFGH$, với nhãn như hình. Tại mỗi đỉnh, tính trung bình cộng của ba số ở ba đỉnh kề nó. Các trung bình tại $A,B,C,D,E,F,G,H$ lần lượt là $1,2,3,4,5,6,7,8$. Số được gán tại $F$ là bao nhiêu?
Gary ghi một số lên mỗi mặt của ba tấm thẻ rồi đặt lên bàn. Các số nhìn thấy là 69, 58 và 42. Tổng hai số trên mỗi thẻ đều bằng nhau, và ba số ở các mặt úp đều là số nguyên tố. Tìm tổng ba số bị che.
Tung một đồng xu không cân đối 5 lần. Xác suất xuất hiện mặt ngửa đúng một lần hoặc mặt sấp đúng một lần đều khác 0. Xác suất được đúng một lần ngửa bằng xác suất được đúng hai lần ngửa. Tìm xác suất được đúng ba lần ngửa.
Dùng mô hình các lần tung độc lập, mỗi lần có cùng xác suất ngửa.
