AMO 2027 Lớp 10-12 SET 1 - Tự luyện tập

Tìm tập các bộ bốn số nguyên dương có thứ tự $[w,x,y,z]$ sao cho: $$w+x+y+z=21.$$

**Làm rõ khi biên soạn.** Đề nguồn hỏi tập hợp, còn đáp án nguồn cho số lượng. Trong ô trả lời, nhập số bộ có thứ tự như vậy. Lời giải cũng mô tả đầy đủ tập hợp.

Nhập một số nguyên, không kèm đơn vị.

Nếu $x+\frac1x=\sqrt3$, hãy tìm giá trị của $x^3+\frac1{x^3}$.

**Làm rõ khi biên soạn.** Hiểu $x$ là số phức khác 0; nguồn gốc không nêu miền giá trị.

Chọn một đáp án.

Trong hình bên, dựng 4 nửa đường tròn và tô tím phần giao của hai nửa hình tròn bất kỳ. Tìm diện tích phần tô màu nếu cạnh hình vuông bằng 10.



Chọn một đáp án.

Trong hình bên, diện tích các miền được ghi trên hình (hình không đúng tỉ lệ). Tìm $m+n$ nếu diện tích chưa biết $x$ của tứ giác bằng phân số tối giản $\frac mn$.



Nhập một số nguyên, không kèm đơn vị.

Nếu $N=5!\,8!\,9!$, hãy tìm số ước của $N$ là các số chính phương.

Chọn một đáp án.

Tìm tổng tất cả các ước nguyên tố của $N$ nếu: $$\log_3\!\left(\log_5\!\left(\frac N2\right)\right)=6.$$

**Làm rõ khi biên soạn.** Mỗi ước nguyên tố phân biệt chỉ tính một lần, theo cách hiểu của các lựa chọn nguồn.

Chọn một đáp án.

Một lớp có 40 học sinh gồm 20 nam và 20 nữ. Khi được chọn chơi bóng đá hoặc cờ vua, 5 nữ và 12 nam chọn bóng đá, các bạn còn lại chọn cờ vua. Nếu các bạn tham gia cờ vua có khả năng thắng như nhau, xác suất người thắng giải cờ vua là nữ bằng bao nhiêu?

Chọn một đáp án.

Đồ thị $f(x)=x^2+bx+c$ là một parabol mở lên, có đỉnh cao hơn trục hoành 5 đơn vị và ở bên phải trục tung 7 đơn vị. Cộng hàm bậc nhất $g(x)=mx+10$ vào hàm ban đầu để được $h(x)=f(x)+g(x)$. Tìm hoành độ đỉnh nếu đồ thị $h(x)$ chỉ tiếp xúc với nửa trục hoành dương.

Chọn một đáp án.

Tìm giá trị của $$X=\cos(57^\circ)\cos(27^\circ)+\sin(57^\circ)\sin(27^\circ),$$ biết $\cos(57^\circ)=0.5446$, $\cos(27^\circ)=0.8910$, và các góc trong sin, cos đều tính bằng độ.

**Làm rõ khi biên soạn.** Hiểu các giá trị cosin thập phân in trong nguồn là số gần đúng đã làm tròn. Dùng chính xác các góc đã nêu.

Chọn một đáp án.

**Câu thay thế đã được cho phép.** Nguồn gốc Lớp 10–12 không có nội dung Câu 9. Câu này được lấy từ Lớp 9–11 SET 1 Câu 13 của bản tự luyện 2027 (sách nguồn SET 1 Câu 15, đề ở trang PDF 10, lời giải ở trang 35). Đây là câu thay thế, không phải câu gốc được phục dựng. Đáp án A đứng riêng cho Câu 9 trong nguồn không áp dụng cho câu này.

Cho $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ là một đa thức bậc hai thỏa mãn $$f(1)=1,\qquad f(2)=\frac12,\qquad f(3)=\frac13.$$ Tìm $f(4)$.



Chọn một đáp án.

Tìm tổng sau nếu $i=\sqrt{-1}$: $$S=i+2i^2+3i^3+\cdots+2020i^{2020}+2021i^{2021}.$$

Chọn một đáp án.

Tìm $abc$ nếu $a,b,c$ là ba số nguyên tố phân biệt và $$a+b+c=92\quad\text{và}\quad ab+bc+ca=2201.$$

Nhập một số nguyên, không kèm đơn vị.

Nếu $\frac1{x+1}+\frac{12}{y+12}+\frac{144}{z+144}=1$, hãy tìm giá trị của $$\frac{x^2}{x^2+x}+\frac{y^2}{y^2+12y}+\frac{z^2}{z^2+144z}.$$

**Làm rõ khi biên soạn.** Giả sử mọi phân thức trong đề đều xác định. Sáu đại lượng $x$, $x+1$, $y$, $y+12$, $z$, $z+144$ đều phải khác 0.

Chọn một đáp án.

Một tháp cao 40 m được nhìn từ điểm $B$ trên mặt đất dưới góc nâng $45^\circ$, và từ điểm $C$ dưới góc nâng $53^\circ$. Điểm $A$ ở chân tháp cao 40 m. Khoảng cách giữa $B,C$ trên mặt đất bằng bao nhiêu nếu $\angle BAC=90^\circ$? (Cho $\sin37^\circ=\frac34$.)

**Làm rõ khi biên soạn.** Trong câu tự luyện này, dùng $\tan37^\circ\approx3/4$ (tương đương $\cot53^\circ\approx3/4$) thay cho $\sin37^\circ=3/4$ in trong nguồn, rồi chọn khoảng cách theo phép gần đúng đó. Giả sử tháp thẳng đứng và mặt đất nằm ngang.

Chọn một đáp án.

Nếu $a,b$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $a+b$ biết $$\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\frac{133}{3}.$$

Nhập một số nguyên, không kèm đơn vị.