IMSO 2008 Toán học – Tuyển chọn Đài Loan – Khám phá

**Hướng dẫn thi được in trong nguồn.** Trả lời 5 câu sau. Ghi đáp án vào khoảng trống sau mỗi câu. Mỗi câu được 8 điểm. Thời gian: 60 phút.

Hình vẽ là mạng ống nước có tám van tại A, B, C, D, E, F, G, H, mỗi van kí hiệu ×. Nước đi vào từ ba ống bên trái, kí hiệu →, và không thể đi qua van đang “đóng”. Mỗi van hoặc “mở” hoặc “đóng”. Có bao nhiêu cách chọn các van mở để nước chảy ra ống ngoài cùng bên phải, nếu cùng lúc có nhiều nhất ba van mở?



Chú giải hình: Water = nước.

Hình vẽ là khung 3 × 3 × 3 có 27 lỗ để đặt viên bi. A–B–C, L–M–N và X–Y–Z là một số đường thẳng có thể chứa ba viên bi.



(a) Có bao nhiêu đường thẳng ba viên bi khác nhau đi qua A? (3 điểm)

(b) Toàn bộ khung có bao nhiêu đường thẳng ba viên bi khác nhau? (5 điểm)

Chú giải: Level 1, 2, 3 = tầng 1, 2, 3.

Trò Triominoes dùng bộ quân tam giác có các cạnh bằng nhau. Mỗi đỉnh của mỗi quân ghi một chữ số từ 0 đến 5. Các đỉnh khác nhau trên cùng quân có thể ghi cùng chữ số, nên cả hai ví dụ dưới đều có trong bộ.



Bộ gồm mọi quân có thể có, kể cả quân lặp hai hoặc ba chữ số. Có tất cả bao nhiêu quân? Hai quân đối xứng gương dưới đây được tính là khác nhau.

Cuối mùa, tổng tiền thưởng của cuộc thi dự đoán bóng đá được chia cho năm người đứng đầu theo các quy tắc:

(i) Các giải khác nhau và đều là số nguyên dương đô la.

(ii) Giải nhất bằng tổng giải nhì và giải ba.

(iii) Giải nhì bằng tổng giải tư và giải năm.

(iv) Thứ hạng càng cao, tiền thưởng càng lớn. Không có đồng hạng.

(1) Tìm tổng tiền thưởng nhỏ nhất có thể. (3 điểm)

(2) Nếu tổng là 72 đô la, tìm tất cả cách chia cho năm người. (5 điểm)

Một n-dragon là một tập n số nguyên dương liên tiếp. Hai phần ba số đầu tạo thành đuôi, một phần ba còn lại tạo thành đầu. Tổng các số ở đuôi bằng tổng ở đầu. Ví dụ chín số liên tiếp 2,3,4,5,6,7,8,9,10 tạo thành 9-dragon:

- Đuôi gồm 2,3,4,5,6,7: sáu số, tổng 27.
- Đầu gồm 8,9,10: ba số, tổng 27.

(1) Tìm một 21-dragon. (3 điểm)

(2) Tính tổng phần đuôi của 99999-dragon. (5 điểm)