AMC10 năm 2027 - Tự luyện tập Set 3

Hình dưới đây gồm một hình vuông và bốn tam giác đều, mỗi tam giác có cạnh $2$, một cạnh nằm trên một cạnh của hình vuông và đỉnh thứ ba trùng với tâm hình vuông. Tính diện tích phần tô xám bên trong hình vuông và bên ngoài bốn tam giác.

Hệ $x+3y=3$, $\bigl||x|-|y|\bigr|=1$ có bao nhiêu nghiệm thực $(x,y)$?

Cho $n$ là một số nguyên dương có $5$ chữ số. Gọi $q,r$ lần lượt là thương và số dư khi chia $n$ cho $100$. Có bao nhiêu số $n$ thỏa mãn $q+r$ chia hết cho $11$?

Chọn độc lập và đều hai điểm trên đường tròn bán kính $r\gt 0$. Xác suất để khoảng cách giữa hai điểm không lớn hơn $r$ là bao nhiêu?

Có $N$ nửa hình tròn bằng nhau được vẽ liên tiếp trên đường kính của một nửa hình tròn lớn, với các đường kính nhỏ phủ kín đường kính lớn và không chồng nhau. Gọi $A$ là tổng diện tích các nửa hình tròn nhỏ, $B$ là diện tích bên trong nửa hình tròn lớn và bên ngoài các nửa hình tròn nhỏ. Biết $A:B=1:18$. Tìm $N$.

Tìm tổng các số thực $m$ để phương trình $x^2-2|x|+2=m$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt.

Với mọi số nguyên tố $p$, biểu thức nào dưới đây chắc chắn không phải là số nguyên tố?

Các chiếc xô được đánh số $1,2,3,\ldots$. Ném độc lập một quả bóng đỏ và một quả bóng xanh vào các xô. Với mỗi quả bóng, xác suất rơi vào xô $k$ là $2^{-k}$. Xác suất để bóng đỏ rơi vào xô có số lớn hơn xô của bóng xanh là bao nhiêu?

Một tấm thảm có ba vùng màu như hình. Diện tích ba vùng, từ trong ra ngoài, lập thành cấp số cộng. Hình chữ nhật trắng bên trong rộng $1$ đơn vị; mỗi viền quanh nó rộng $1$ đơn vị về cả bốn phía. Chiều dài hình chữ nhật trắng bằng bao nhiêu?

Hai số thực phân biệt $x,y$ thỏa mãn $y+4=(x-2)^2$ và $x+4=(y-2)^2$. Tìm $x^2+y^2$.

Cho các số nguyên dương tăng dần $a_1,a_2,\ldots,a_{2018}$ thỏa mãn
$$a_1+a_2+\cdots+a_{2018}=2018^{2018}.$$
Số dư khi chia $a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2018}^3$ cho $6$ bằng bao nhiêu?

Gieo bảy viên xúc xắc công bằng, mỗi viên có sáu mặt đánh số từ $1$ đến $6$. Xác suất để tổng số chấm bằng $10$ là $\dfrac n{6^7}$, với $n$ là số nguyên dương. Giá trị của $n$ là bao nhiêu?

Một lục giác đều có cạnh $6$. Tại mỗi đỉnh, vẽ một cung tròn tâm ở đỉnh đó và bán kính $3$ như hình. Tính diện tích phần tô xám bên trong lục giác và bên ngoài sáu quạt tròn.

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $x^4-51x^2+50\lt 0$?

Bob tính $10!$ trong hệ thập phân rồi viết kết quả trong hệ cơ số $12$. Biểu diễn đó có đúng $k$ chữ số $0$ tận cùng. Giá trị của $k$ trong hệ thập phân bằng bao nhiêu?

Số $21!=51\,090\,942\,171\,709\,440\,000$ có hơn $60\,000$ ước nguyên dương. Chọn ngẫu nhiên một ước nguyên dương của số đó. Xác suất để ước được chọn là số lẻ bằng bao nhiêu?

Tất cả các tam giác trong hình đều đồng dạng với tam giác cân $ABC$, trong đó $AB=AC$. Mỗi tam giác trong bảy tam giác nhỏ nhất có diện tích $1$, còn tam giác $ABC$ có diện tích $40$. Tính diện tích hình thang $DBCE$.

Các chữ số $a,b,c$ đôi một khác nhau. Tìm giá trị lớn nhất của tổng các nghiệm thực phân biệt của $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=0$.

Trong $2018$ số hạng đầu tiên của dãy $101,1001,10001,100001,\ldots$, có bao nhiêu số chia hết cho $101$?

Một bảng phi tiêu hình bát giác đều được chia thành các miền như hình. Một phi tiêu có khả năng rơi đều tại mọi điểm trên bảng. Xác suất để phi tiêu rơi vào hình vuông ở chính giữa là bao nhiêu?

{{asset:c 2-example-10-diagram}}