Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases}\dfrac1{\sqrt{1+2x^2}}+\dfrac1{\sqrt{1+2y^2}}=\dfrac2{\sqrt{1+2xy}},\\ \sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\dfrac29.\end{cases}$$
Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi
$$x_1=\frac12,\qquad x_n=\frac{\sqrt{x_{n-1}^2+4x_{n-1}}+x_{n-1}}2\quad(n\ge2).$$
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $y_n=\sum_{i=1}^n1/x_i^2$. Chứng minh rằng dãy $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to\infty$. Hãy tìm giới hạn đó.
Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định $A,B$, $A\ne B$. Xét một điểm $C$ di động trong mặt phẳng sao cho $\angle ACB=\alpha$, trong đó $\alpha$ là một góc cho trước, $0^\circ\lt \alpha\lt 180^\circ$. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $AB,BC,CA$ tương ứng tại $D,E,F$. Các đường thẳng $AI,BI$ lần lượt cắt đường thẳng $EF$ tại $M,N$. Chứng minh rằng:
1. Đoạn thẳng $MN$ có độ dài không đổi.
2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện: với mỗi số nguyên dương $n$, $a^n+b^n+c^n$ là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $p,q,r$ sao cho $a,b,c$ là ba nghiệm của phương trình
$$x^3+px^2+qx+r=0.$$
Cho số nguyên dương $n$. Kí hiệu $T$ là tập hợp gồm $2n$ số nguyên dương đầu tiên. Hỏi có tất cả bao nhiêu tập con $S$ của $T$ có tính chất: trong $S$ không tồn tại các số $a,b$ mà $|a-b|\in\{1;n\}$? Lưu ý: tập rỗng được coi là tập con có tính chất nêu trên.