VMO 2004 — Bảng A

Giải hệ phương trình sau đây
$$\begin{cases}x^3+x(y-z)^2=2,\\ y^3+y(z-x)^2=30,\\ z^3+z(x-y)^2=16.\end{cases}$$

Cho tam giác $ABC$ trong mặt phẳng. $D$ là giao điểm của đoạn thẳng $AB$ với đường phân giác trong góc $ACB$ của tam giác $ABC$. Xét một đường tròn $(O)$ thay đổi luôn đi qua hai điểm $C,D$ và không tiếp xúc với các đường thẳng $BC,CA$. Đường tròn này cắt $BC,CA$ tương ứng tại các điểm thứ hai $M,N$.
(a) Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn $(S)$ tiếp xúc với các đường thẳng $DM,DN$ tại $M,N$ tương ứng.
(b) Đường tròn $(S)$ cắt các đường thẳng $BC,AC$ tại các điểm tương ứng là $P,Q$. Chứng minh rằng các độ dài của các đoạn thẳng $MP,NQ$ là hằng số khi mà đường tròn $(O)$ thay đổi.

Chúng ta kí hiệu $A$ là tập tất cả 16 số nguyên dương đầu tiên $A=\{1,2,\ldots,16\}$. Hãy xác định số nguyên dương bé nhất $k$ mà có tính chất sau đây: với mọi tập con của $A$ mà có đúng $k$ phần tử chúng ta có thể tìm được trong nó hai phần tử $a,b$ mà $a^2+b^2$ là số nguyên tố.

Xét dãy số thực $\{x_n\}_{n=1}^{+\infty}$ được xác định bởi
$$x_1=1,\qquad x_{n+1}=\frac{(2+2\cos2\alpha)x_n+\cos^2\alpha}{(2-2\cos2\alpha)x_n+2-\cos2\alpha}\quad(n=1,2,\ldots).$$
Ở đó $\alpha$ là một tham số thực. Hãy xác định tất cả các giá trị có thể của $\alpha$ sao cho dãy $\{y_n\}_{n=1}^{+\infty}$ với
$$y_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{1+2x_n}$$
có giới hạn hữu hạn khi mà $n$ tiến ra vô hạn. Hãy xác định các giới hạn đó trong các trường hợp của $\alpha$ tìm được.

Xét các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện
$$(x+y+z)^3=32xyz.$$
Hãy xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\frac{x^4+y^4+z^4}{(x+y+z)^4}.$$

Với mỗi số nguyên dương $n$ ta kí hiệu $S(n)$ là tổng của tất cả các chữ số của $n$ trong cơ số 10. Xét tất cả các số nguyên dương $m$ thỏa mãn $2003\mid m$, tìm giá trị bé nhất có thể của $S(m)$.