(a) Hãy xác định đa thức của $x$ có bậc nhỏ nhất với hệ số nguyên có một nghiệm là $\sqrt2+\sqrt[3]3$.
(b) Giải phương trình
$$1+\sqrt{1+x^2}\left(\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3}\right)=2+\sqrt{1-x^2}.$$
Cho dãy số $u_1,u_2,\ldots$ như sau: $u_1=1$, $u_2=2$, $u_{n+1}=3u_n-u_{n-1}$ với $n=2,3,\ldots$. Dãy số $v_1,v_2,\ldots$ được xác định bởi quy luật $v_n=\sum_{k=1}^{n}\operatorname{arccot}u_i$. Hãy xác định $\lim_{n\to+\infty}v_n$.
Trong mặt phẳng $P$ cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$. Trên nửa đường thẳng $Az$ vuông góc với $P$ lấy điểm $S$ sao cho $SA=2a$.
(a) $M,N$ là hai điểm tương ứng di động trên $BC,DC$.
(i) Xác định vị trí của hai điểm $M,N$ sao cho $BM+DN\ge3a/2$, đồng thời hai mặt phẳng $SAM,SMN$ vuông góc với nhau và tích $BM\cdot DN$ đạt giá trị bé nhất.
(ii) Xác định vị trí của $M,N$ sao cho $\angle NAM=45^\circ$ và thể tích tứ diện $SAMN$ là lớn nhất, nhỏ nhất. Tính các giá trị đó.
(b) $Q$ là điểm di động sao cho $Q$ luôn nhìn $AB,AD$ dưới các góc vuông. Gọi $\pi$ là mặt phẳng vuông góc với $P$ theo giao tuyến $AB$, $DQ$ cắt $\pi$ ở $Q'$.
(i) Tìm quỹ tích điểm $Q'$.
(ii) Điểm $Q$ ở trên sẽ vẽ nên đường $(K)$. Gọi $R$ là giao điểm thứ hai khác với $Q$ của $CQ$ và $(K)$. Chứng minh rằng $\sin^2\angle Q'DB+\sin^2\angle R'DB$ là một hằng số không phụ thuộc vị trí của $Q$, trong đó $R'$ là giao điểm của $DR$ với mặt phẳng $\pi$.
(a) Cho $x,y$ là các số nguyên không đồng thời bằng không. Hãy xác định giá trị bé nhất của biểu thức $A=|5x^2+11xy-5y^2|$.
(b) Tìm tất cả các số dương $t$ để $9t=10[t]/(t-[t])$, trong đó $[t]$ là phần nguyên của số $t$.
Cho góc tam diện $Sxyz$ đỉnh $S$, trong đó $\angle xSz=\alpha$, $\angle xSy=\beta$, $\angle ySz=\gamma$. Gọi $A,B,C$ tương ứng là giá trị các góc nhị diện cạnh $Sy,Sz,Sx$ của góc tam diện ấy.
(a) Chứng minh rằng: (i) $\sin\alpha/\sin A=\sin\beta/\sin B=\sin\gamma/\sin C$; (ii) $\alpha+\beta=90^\circ$ khi và chỉ khi $A+B=180^\circ$.
(b) Giả sử $\alpha=\beta=\gamma=90^\circ$. Gọi $O$ là điểm cố định trên $Sz$ sao cho $SO=a$. $M,N$ là hai điểm di động trên $Sx,Sy$ sao cho $SM+SN=a$. Chứng minh rằng $\angle SOM+\angle SON+\angle MON$ là một hằng số không phụ thuộc vị trí của $M,N$. Tìm quỹ tích tâm $I$ của hình cầu ngoại tiếp tứ giác $OSMN$.