Câu hỏi 3
Trong mặt phẳng $P$ cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$. Trên nửa đường thẳng $Az$ vuông góc với $P$ lấy điểm $S$ sao cho $SA=2a$.
(a) $M,N$ là hai điểm tương ứng di động trên $BC,DC$.
(i) Xác định vị trí của hai điểm $M,N$ sao cho $BM+DN\ge3a/2$, đồng thời hai mặt phẳng $SAM,SMN$ vuông góc với nhau và tích $BM\cdot DN$ đạt giá trị bé nhất.
(ii) Xác định vị trí của $M,N$ sao cho $\angle NAM=45^\circ$ và thể tích tứ diện $SAMN$ là lớn nhất, nhỏ nhất. Tính các giá trị đó.
(b) $Q$ là điểm di động sao cho $Q$ luôn nhìn $AB,AD$ dưới các góc vuông. Gọi $\pi$ là mặt phẳng vuông góc với $P$ theo giao tuyến $AB$, $DQ$ cắt $\pi$ ở $Q'$.
(i) Tìm quỹ tích điểm $Q'$.
(ii) Điểm $Q$ ở trên sẽ vẽ nên đường $(K)$. Gọi $R$ là giao điểm thứ hai khác với $Q$ của $CQ$ và $(K)$. Chứng minh rằng $\sin^2\angle Q'DB+\sin^2\angle R'DB$ là một hằng số không phụ thuộc vị trí của $Q$, trong đó $R'$ là giao điểm của $DR$ với mặt phẳng $\pi$.
(a) $M,N$ là hai điểm tương ứng di động trên $BC,DC$.
(i) Xác định vị trí của hai điểm $M,N$ sao cho $BM+DN\ge3a/2$, đồng thời hai mặt phẳng $SAM,SMN$ vuông góc với nhau và tích $BM\cdot DN$ đạt giá trị bé nhất.
(ii) Xác định vị trí của $M,N$ sao cho $\angle NAM=45^\circ$ và thể tích tứ diện $SAMN$ là lớn nhất, nhỏ nhất. Tính các giá trị đó.
(b) $Q$ là điểm di động sao cho $Q$ luôn nhìn $AB,AD$ dưới các góc vuông. Gọi $\pi$ là mặt phẳng vuông góc với $P$ theo giao tuyến $AB$, $DQ$ cắt $\pi$ ở $Q'$.
(i) Tìm quỹ tích điểm $Q'$.
(ii) Điểm $Q$ ở trên sẽ vẽ nên đường $(K)$. Gọi $R$ là giao điểm thứ hai khác với $Q$ của $CQ$ và $(K)$. Chứng minh rằng $\sin^2\angle Q'DB+\sin^2\angle R'DB$ là một hằng số không phụ thuộc vị trí của $Q$, trong đó $R'$ là giao điểm của $DR$ với mặt phẳng $\pi$.