Gọi hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ là rất lồi nếu
\[\frac{f(x)+f(y)}2\ge f\left(\frac{x+y}2\right)+|x-y|\]
với mọi số thực $x,y$. Chứng minh không tồn tại hàm số rất lồi.
Cho $S$ là tập hợp các tam giác $ABC$ thỏa mãn
\[5\left(\frac1{AP}+\frac1{BQ}+\frac1{CR}\right)-\frac3{\min\{AP,BQ,CR\}}=\frac6r,\]
trong đó $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp, còn $P,Q,R$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với $AB,BC,CA$. Chứng minh mọi tam giác thuộc $S$ đều cân và đồng dạng với nhau.
Một trò chơi có $R$ lá bài đỏ, $W$ lá bài trắng và $B$ lá bài xanh. Người chơi đánh hết các lá bài, mỗi lần một lá. Khi đánh một lá xanh, điểm phạt bằng số lá trắng còn trên tay. Khi đánh một lá trắng, điểm phạt bằng hai lần số lá đỏ còn trên tay. Khi đánh một lá đỏ, điểm phạt bằng ba lần số lá xanh còn trên tay. Theo $R,W,B$, hãy tìm tổng điểm phạt nhỏ nhất và số cách đạt được nó.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho nếu tô màu $n$ ô của một bàn cờ $1000\times1000$ thì luôn có ba ô đã tô mà tâm của chúng tạo thành một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông song song với các cạnh bàn cờ.
Cho tam giác $A_1A_2A_3$ và đường tròn $\omega_1$ trong mặt phẳng của tam giác đi qua $A_1,A_2$. Giả sử tồn tại các đường tròn $\omega_2,\ldots,\omega_7$ sao cho với $k=2,\ldots,7$, đường tròn $\omega_k$ tiếp xúc ngoài với $\omega_{k-1}$ và đi qua $A_k,A_{k+1}$, trong đó chỉ số các điểm được lấy theo modulo $3$. Chứng minh $\omega_7=\omega_1$.
Cho $a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_n,b_n$ là các số thực không âm. Chứng minh
\[\sum_{i,j=1}^n\min\{a_ia_j,b_ib_j\}\le\sum_{i,j=1}^n\min\{a_ib_j,a_jb_i\}.\]