USAMO 1996 — Ngày 1 và Ngày 2

Chứng minh rằng trung bình cộng của các số $n\sin n^\circ$ với $n=2,4,6,\ldots,180$ bằng $\cot1^\circ$.

Với mỗi tập không rỗng $S$ gồm các số thực, gọi $\sigma(S)$ là tổng các phần tử của $S$. Cho tập $A$ gồm $n$ số nguyên dương. Xét tất cả các tổng phân biệt $\sigma(S)$ khi $S$ chạy qua các tập con không rỗng của $A$. Chứng minh có thể chia các tổng này thành $n$ lớp sao cho trong mỗi lớp, tỉ số giữa tổng lớn nhất và tổng nhỏ nhất không vượt quá $2$.

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh tồn tại đường thẳng $\ell$ trong mặt phẳng của tam giác sao cho phần giao giữa miền trong tam giác $ABC$ và miền trong ảnh đối xứng $A'B'C'$ của nó qua $\ell$ có diện tích lớn hơn $\frac23$ diện tích tam giác $ABC$.

Một dãy nhị phân độ dài $n$ là dãy $(x_1,\ldots,x_n)$ có mỗi số hạng bằng $0$ hoặc $1$. Gọi $a_n$ là số dãy như vậy không chứa mẫu liên tiếp $010$. Gọi $b_n$ là số dãy như vậy không chứa mẫu liên tiếp $0011$ và cũng không chứa mẫu liên tiếp $1100$. Chứng minh $b_{n+1}=2a_n$ với mọi số nguyên dương $n$.

Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác sao cho $\angle MAB=10^\circ$, $\angle MBA=20^\circ$, $\angle MAC=40^\circ$, $\angle MCA=30^\circ$. Chứng minh tam giác $ABC$ cân.

Hãy xác định, có chứng minh, liệu có tồn tại tập con $X\subseteq\mathbb Z$ sao cho với mỗi $n\in\mathbb Z$, phương trình $a+2b=n$ có đúng một nghiệm với $a,b\in X$ hay không.