AIMO 2021 Secondary 2 — Vòng loại (Open Trial 1)

Hình vẽ là một khối gỗ được khoan xuyên bởi một lỗ hình trụ. Đường kính lỗ là 2 cm. Tính thể tích phần gỗ còn lại, làm tròn đến hai chữ số thập phân.

Các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $5x-6y=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $x$.

Biết $3x+y+4z=16$ và $x+y+4z=18$. Tính $y+4z-x$.

Rút gọn $\frac{187}{253}$.

Bà Mackay quên mã bốn chữ số của két sắt. Không chữ số nào bằng 0 và tổng bốn chữ số bằng 9. Cần nhiều nhất bao nhiêu lần thử để chắc chắn mở được két?

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn $x+y+z=6$.

Quy ước: Liệt kê các bộ ba trong lời giải rồi chọn số lượng của chúng.

Tính $\left(\frac15-\frac14\right)+\left(\frac1{25}-\frac1{16}\right)+\left(\frac1{125}-\frac1{64}\right)+\left(\frac1{625}-\frac1{256}\right)$.

Tam giác $EXO$ vuông tại $E$. Điểm $F$ thuộc $XO$ và $EF\perp XO$. Biết $EO=2$, $XE=3$, tính diện tích tam giác $EFO$.

Các phương án in trong nguồn: A: $\frac{54}{160}$; B: $\frac{54}{25}$; C: $\frac{25}{16}$; D: $\frac{21}{16}$.

Dạng trả lời biên tập: ghi đáp số chính xác; các phương án gốc được giữ để đối chiếu.

Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá $\sqrt{31}+\sqrt{73}$.

Trong tam giác $ABC$, $AB=AC=5$. Điểm $D$ thuộc $BC$, với $BD=4$ và $DC=2$. Tính $AD$.

Tính $12^2+35^2+53^2+24\times35+70\times53+106\times12$.

Các phương án in trong nguồn: A: 7200; B: 7220; C: 7244; D: 6400.

Dạng trả lời biên tập: ghi đáp số chính xác; các phương án gốc được giữ để đối chiếu.

Tuổi của năm người là các số nguyên dương lập thành một cấp số cộng. Hai người có tuổi lần lượt là 20 và 30. Tuổi người lớn thứ hai có thể nhận bao nhiêu giá trị khác nhau?

Biết $x^2-5x-7=0$. Tính $x^4-2x^3-24x^2-11x+2019$.

Khoảng cách giữa hai chấm kề nhau trên mỗi hàng và mỗi cột là 1 cm. Tính diện tích miền tô màu tím theo cm vuông.

Nam chi 20 đô la mua 20 đồ dùng học tập gồm sách, bút mực và bút chì. Mỗi quyển sách giá 3 đô la, mỗi bút mực 1,5 đô la, mỗi bút chì 0,5 đô la. Nam chi bao nhiêu đô la mua sách?

Quy ước: Giả sử Nam mua ít nhất một món thuộc mỗi loại trong ba loại.

Có bao nhiêu tam giác được tạo thành bằng cách nối các đỉnh của một hình bát giác?

Quy ước: Xét bát giác lồi không có ba đỉnh thẳng hàng.

Như trong hình, $ABCD$ là một tứ giác. Biết $AD=AB$, $\angle DAB=90^\circ$ và $AE\perp BC$. Tính diện tích $ABCD$.

Một con kiến đi từ $A$, cực Nam, đến $F$, cực Bắc, chỉ theo các đường kinh tuyến và vĩ tuyến được vẽ, kể cả nét đứt, không đi qua điểm nào hai lần (ví dụ $A\to D\to E\to F$). Có bao nhiêu đường đi?

Tích $1\times2\times3\times\cdots\times2019$ chia hết cho $175^n$, với $n$ là số nguyên. Tìm giá trị lớn nhất của $n$.

Trong tứ giác $ABCD$, $\angle ADC=90^\circ$, $AD=DC=2$ và $AD\parallel BC$. Điểm $E$ thuộc $CD$, $AE\perp BD$. Tính diện tích tứ giác $ABCE$.