Cho tam giác $ABC$ và đường tròn ngoại tiếp $\omega$. Kẻ các tiếp tuyến tại $B,C$ của $\omega$, gặp nhau tại $D$. Đường thẳng $AD$ gặp đường tròn tâm $D$, bán kính $DB$, tại điểm $E$ bên trong tam giác $ABC$. Gọi $F$ là điểm trên phần kéo dài của $EB$ và $G$ là điểm trên đoạn $EC$ sao cho $\angle AFB=\angle AGE=\angle A$. Chứng minh tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFG$ song song với $BC$.
Chứng minh rằng nếu chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật đều là số nguyên lẻ, thì không tồn tại điểm $P$ bên trong hình chữ nhật có khoảng cách đến cả $4$ đỉnh đều là số nguyên.
Cho các số nguyên cố định $n,k$ với $1\le k\le n$. Alice có $n$ thẻ xếp thành một hàng, trong đó thẻ ở vị trí $i$ mang nhãn $i+k$ (hoặc $i+k-n$ nếu $i+k>n$). Ban đầu Alice tô mỗi thẻ màu đỏ hoặc xanh. Sau đó cô được thực hiện các bước, mỗi bước chọn hai thẻ khác màu và đổi chỗ chúng. Tìm số bước nhỏ nhất cần thực hiện, khi cô chọn cách tô màu tối ưu, để đưa các thẻ về đúng thứ tự (tức thẻ $i$ ở vị trí $i$).
Cho số nguyên dương $n\ge2$. Với mỗi số nguyên $a$, gọi $P_a(x)$ là đa thức $x^n+ax$. Cho $p$ là số nguyên tố và định nghĩa $S_a$ là tập các số dư theo môđun $p$ mà $P_a(x)$ nhận được. Cụ thể, dòng trong nguồn được cung cấp in là
$$S_a=\{b\mid0\le b\le p-1,\ \exists c:\ P_a(x)\equiv p\pmod p\}.$$
Chứng minh biểu thức
$$\frac1{p-1}\sum_{a=1}^{p-1}|S_a|$$
là số nguyên.
Làm rõ của biên soạn: dòng nguồn trên có $c$ không được dùng và $x$ tự do, còn số dư vế phải được in là $p$ thay vì $b$. Phần văn bản trước đó và bài trùng được viết đúng, Câu3 Vòng2 Open2023, xác định định nghĩa dự định là
$$S_a=\{b\in\{0,\ldots,p-1\}:\exists c\in\mathbb Z,\ P_a(c)\equiv b\pmod p\}.$$
Lời giải phân biệt rõ dòng in bị lỗi với tập ảnh dự định này.