SMO 2022 - Junior - Vòng 2

Cho $n$ là số có 6 chữ số. Ba chữ số đầu và ba chữ số cuối của $n$ tạo thành hai số có 3 chữ số. Tích của hai số có 3 chữ số này bằng một phần bảy giá trị của $n$. Tìm $n$.

Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $AC$. Đường phân giác của $\angle A$ cắt cạnh $BC$ tại $P$ và cắt $MB$ tại $N$. Giả sử $\angle ANM=90^\circ$. Chứng minh rằng $CP=2PM$.

Cho $n=p_1p_2\cdots p_k$ là tích của các số nguyên tố phân biệt $p_1,p_2,\ldots,p_k$, với $k>1$. Tìm tất cả giá trị của $n$, biết $n$ là bội của $p_i-1$ với mỗi $i=1,2,\ldots,k$.

Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng $$n\sqrt{19}\{n\sqrt{19}\}>1,$$ trong đó $\{x\}$ là phần lẻ của số $x$. (Ví dụ, $\{4.3\}=0.3$.)

Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $6$ sao cho khi chia các số nguyên $6,7,8,\ldots,n$ thành hai nhóm, một trong hai nhóm chứa các số $a,b,c$ với $ab=c$, trong đó cho phép $a=b$. Xác định giá trị nhỏ nhất của $n$.