SMO 2008 - Senior - Vòng 2

Cho hình thang $ABCD$ có $AD\parallel BC$. Giả sử $K$ và $L$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $AB$ và $CD$ sao cho $\angle BAL=\angle CDK$. Chứng minh rằng $\angle BLA=\angle CKD$.

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $5^p+4p^4$ là số chính phương, tức là bình phương của một số nguyên.

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn

(i) $f(2u)=f(u+v)f(v-u)+f(u-v)f(-u-v)$ với mọi $u,v\in\mathbb R$, và

(ii) $f(u)\ge0$ với mọi $u\in\mathbb R$.

Một câu lạc bộ có $11$ ban. Mỗi ban có $5$ thành viên và cứ hai ban bất kỳ đều có một thành viên chung. Chứng minh rằng có một thành viên thuộc $4$ ban.

Cho $a,b,c\ge0$. Chứng minh rằng $$\frac{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}{(1+a)(1+b)(1+c)}\ge\frac12(1+abc).$$