Cho $n$ số thực $a_1,a_2,\ldots,a_n$ có tổng các bình phương bằng $1$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên $k\ge2$, tồn tại $n$ số nguyên $x_1,x_2,\ldots,x_n$, mỗi số có giá trị tuyệt đối không quá $k-1$ và không đồng thời bằng $0$, sao cho
$$\left|\sum_{i=1}^n a_ix_i\right|\le\frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}.$$
Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số nguyên phân biệt. Chứng minh đa thức
$$(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)-1$$
không thể biểu diễn thành tích của hai đa thức, mỗi đa thức có hệ số nguyên và bậc ít nhất $1$.
Cho $A_1,B_1$ là hai điểm trên đáy $AB$ của tam giác cân $ABC$, với $\angle C\gt 60^\circ$, sao cho $\angle A_1CB_1=\angle ABC$. Một đường tròn tiếp xúc ngoài với đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C$, đồng thời tiếp xúc với các tia $CA,CB$ lần lượt tại $A_2,B_2$. Chứng minh $A_2B_2=2AB$.
Gọi $\mathbb N=\{1,2,\ldots\}$ là tập các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb N\to\mathbb N$ sao cho, với mọi $m,n\in\mathbb N$,
$$f(f(m)+f(n))=m+n.$$