APMO 2016 - Olympic Toán châu Á - Thái Bình Dương Câu hỏi 5

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R_{\gt 0}\to\mathbb R_{\gt 0}$ sao cho
$$(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)$$
với mọi số thực dương $x,y,z$.