AIME năm 1985

Đặt $x_1=97,$ và với $n\gt1$ đặt $x_n=\frac{n}{x_{n-1}}.$ Tính tích $x_1x_2\cdots x_8.$

Khi tam giác vuông được quay quanh một chân, thể tích của hình nón được tạo ra là $800\pi\text{ cm}^3.$ Khi tam giác được quay quanh chân còn lại, thể tích của hình nón được tạo ra là $1920\pi\text{ cm}^3.$ Độ dài (tính bằng cm) của cạnh huyền của tam giác là bao nhiêu?

Tìm $c$ nếu $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $c=(a+bi)^3-107i,$ trong đó $i^2=-1.$

Một hình vuông nhỏ được dựng bên trong một hình vuông diện tích $1$ bằng cách chia mỗi cạnh của hình vuông đơn vị thành $n$ các phần bằng nhau, sau đó nối các đỉnh với các điểm phân chia gần các đỉnh đối diện nhất, như được hiển thị. Tìm giá trị của $n$ nếu diện tích của hình vuông nhỏ (được tô bóng trong hình) chính xác là $\frac1{1985}.$

Một dãy số nguyên $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ được chọn sao cho $a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$ cho mỗi $n\geq3.$ Tổng của các số hạng $2001$ đầu tiên của dãy này là bao nhiêu nếu tổng của các số hạng $1492$ đầu tiên là $1985,$ và tổng của các số hạng $1985$ đầu tiên là $1492?$

Như thể hiện trong hình, tam giác $ABC$ được chia thành sáu tam giác nhỏ hơn bằng các đường thẳng vẽ từ các đỉnh đi qua một điểm chung bên trong. Diện tích của bốn trong số các hình tam giác này được chỉ ra. Tìm diện tích của tam giác $ABC.$

Giả sử rằng $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là các số nguyên dương sao cho $a^5=b^4,$ $c^3=d^2,$ và $c-a=19.$ Xác định $d-b.$

Tổng của bảy số sau chính xác là $19:$ $$
\begin{aligned} a_1&=2.56,\\ a_2&=2.61,\\ a_3&=2.65,\\ a_4&=2.71,\\ a_5&=2.79,\\ a_6&=2.82,\\ a_7&=2.86. \end{aligned}
$$ Người ta mong muốn thay thế mỗi $a_i$ bằng một số nguyên xấp xỉ $A_i,$ $1\leq i\leq7,$ sao cho tổng của $A_i$ cũng là $19$ và do đó $M,$ mức tối đa của “lỗi” $|A_i-a_i|,$ càng nhỏ càng tốt. Đối với mức tối thiểu này $M,$ $100M?$ là bao nhiêu

Trong một đường tròn, các dây cung song song có độ dài $2,$ $3,$ và $4$ lần lượt xác định các góc ở tâm của $\alpha,$ $\beta,$ và $\alpha+\beta$ radian, trong đó $\alpha+\beta\lt\pi.$ Nếu $\cos\alpha,$ là số dương số hữu tỉ, được biểu diễn dưới dạng phân số ở dạng tối giản, tổng của tử số và mẫu số của nó là bao nhiêu?

Có bao nhiêu số nguyên dương $1000$ đầu tiên có thể được biểu thị dưới dạng $$
\lfloor2x\rfloor+\lfloor4x\rfloor+\lfloor6x\rfloor+\lfloor8x\rfloor,
$$ trong đó $x$ là số thực và $\lfloor z\rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $z?$

Một hình elip có tiêu điểm tại $(9,20)$ và $(49,55)$ trong mặt phẳng $xy$ và tiếp tuyến với trục $x$. Chiều dài trục chính của nó là bao nhiêu?

Đặt $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ là các đỉnh của một tứ diện đều, mỗi cạnh có số đo $1$ mét. Một lỗi, bắt đầu từ đỉnh $A,$ tuân theo quy tắc sau: tại mỗi đỉnh, nó chọn một trong ba cạnh gặp nhau tại đỉnh đó, mỗi cạnh có khả năng được chọn như nhau và bò dọc theo cạnh đó đến đỉnh ở đầu đối diện của nó. Đặt $p=\frac{n}{729}$ là xác suất mà lỗi ở đỉnh $A$ khi nó đã bò chính xác $7$ mét. Tìm giá trị của $n.$

Các số trong dãy $101,$ $104,$ $109,$ $116,$ $\ldots$ có dạng $a_n=100+n^2,$ trong đó $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Với mỗi $n,$ đặt $d_n$ là ước chung lớn nhất của $a_n$ và $a_{n+1}.$ Tìm giá trị lớn nhất của $d_n$ khi $n$ trải qua các số nguyên dương.

Trong một giải đấu, mỗi người chơi đấu với nhau đúng một ván. Trong mỗi ván đấu, người chiến thắng được thưởng $1$ điểm, người thua nhận được $0$ điểm và mỗi người trong số hai người chơi kiếm được $\frac12$ điểm nếu trận đấu hòa. Sau khi giải đấu kết thúc, người ta thấy rằng chính xác một nửa số điểm mà mỗi người chơi kiếm được là do mười người chơi có số điểm ít nhất. (Đặc biệt, mỗi người trong số mười người chơi có điểm thấp nhất kiếm được một nửa số điểm của mình so với chín trong số mười người còn lại.) Tổng số người chơi trong giải đấu là bao nhiêu?

Ba hình vuông $12\text{ cm}\times12\text{ cm}$ được cắt thành hai phần $A$ và $B,$ như minh họa trong hình đầu tiên bên dưới, bằng cách nối trung điểm của hai cạnh liền kề. Sáu mảnh này sau đó được gắn vào một hình lục giác đều, như thể hiện trong hình thứ hai, để gấp lại thành một khối đa diện. thể tích (trong $\text{cm}^3$) của khối đa diện này là gì?