Cho
$$S=1+\frac1{1+\frac13}+\frac1{1+\frac13+\frac16}+\cdots+\frac1{1+\frac13+\frac16+\cdots+\frac1{1993006}},$$
trong đó các mẫu số là tổng riêng của dãy nghịch đảo các số tam giác $k=n(n+1)/2$, $n=1,2,\ldots,1996$. Chứng minh $S\gt 1001$.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp một đường tròn. Đặt $l_a=m_a/M_a$, $l_b=m_b/M_b$, $l_c=m_c/M_c$, trong đó $m_a,m_b,m_c$ là độ dài các phân giác trong, còn $M_a,M_b,M_c$ là độ dài từ đỉnh đến giao điểm thứ hai của phân giác với đường tròn. Chứng minh
$$\frac{l_a}{\sin^2A}+\frac{l_b}{\sin^2B}+\frac{l_c}{\sin^2C}\ge3,$$
với dấu bằng khi và chỉ khi tam giác đều.
Trong hình dựng, $D_A,D_B,D_C$ là giao điểm với cạnh đối diện và $T_A,T_B,T_C$ là giao điểm thứ hai với đường tròn.
Tam giác $A_1A_2A_3$ vuông tại $A_3$. Với $n\ge3$, từ $A_n$ hạ đường vuông góc tới đường thẳng $A_{n-2}A_{n-1}$, chân là $A_{n+1}$.
(a) Chứng minh nếu tiếp tục vô hạn, có đúng một điểm $P$ nằm trong mọi tam giác $A_{n-2}A_{n-1}A_n$.
(b) Giữ cố định $A_1,A_3$ và cho $A_2$ thay đổi trên mọi vị trí hợp lệ trong mặt phẳng. Tìm quỹ tích $P$.
Có $n\ge3$ người $A_1,\ldots,A_n$ ngồi thành vòng tròn, người $A_i$ có $a_i$ đồ vật và $a_1+\cdots+a_n=nN$, trong đó $N$ là số nguyên dương. Để mọi người có cùng số đồ vật, mỗi $A_i$ có thể cho hoặc nhận đồ vật từ hai người kề $A_{i-1},A_{i+1}$ theo chỉ số tuần hoàn. Cần phân phối lại thế nào để tổng số đồ vật được chuyển là nhỏ nhất?
