Tìm tất cả các dãy số thực $a_1,a_2,\ldots,a_{1995}$ thỏa mãn
$$2\sqrt{a_n-(n-1)}\ge a_{n+1}-(n-1)\qquad(n=1,2,\ldots,1994),$$
và $2\sqrt{a_{1995}-1994}\ge a_1+1$.
Cho dãy số nguyên $a_1,a_2,\ldots,a_n$ có giá trị từ $2$ đến $1995$, thỏa mãn: (i) hai số hạng bất kỳ nguyên tố cùng nhau; (ii) mỗi số hạng là số nguyên tố hoặc tích các số nguyên tố. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ bảo đảm dãy có một số nguyên tố.
Cho tứ giác nội tiếp $PQRS$ sao cho các đoạn $PQ$ và $RS$ không song song. Xét họ đường tròn qua $P,Q$ và họ đường tròn qua $R,S$. Tìm tập $A$ các tiếp điểm của những cặp đường tròn thuộc hai họ đó.
Quy ước biên tập của AI: hai đường tròn tiếp xúc được hiểu là hai đường tròn phân biệt có đúng một điểm chung. Nguồn còn dùng một quy ước khác; lời giải giải thích cả hai cách hiểu.
Cho đường tròn $C$ tâm $O$, bán kính $R$ và điểm cố định $S$ ở trong. Hai dây $AA',BB'$ vuông góc và đi qua $S$. Xét các hình chữ nhật $SAMB$, $SBN'A'$, $SA'M'B'$, $SB'NA$. Tìm tập hợp tất cả các điểm $M,N',M',N$ khi $A$ di chuyển quanh toàn bộ đường tròn.
