Cho tứ giác $ABCD$ có bốn cạnh bằng nhau và $\angle ABC=60^\circ$. Đường thẳng $\ell$ đi qua $D$ nhưng không gặp tứ giác ở điểm nào khác. Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm của $\ell$ với các đường thẳng $AB,BC$ và $M=CE\cap AF$. Chứng minh $CA^2=CM\cdot CE$.
Tìm tổng số giá trị nguyên khác nhau của hàm
$$f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor2x\rfloor+\left\lfloor\frac{5x}{3}\right\rfloor+\lfloor3x\rfloor+\lfloor4x\rfloor$$
khi $x$ thực và $0\le x\le100$. Ký hiệu $\lfloor t\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $t$.
Cho hai đa thức khác không, hệ số thực $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ và $g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0$, thỏa $g(x)=(x+r)f(x)$ với số thực $r$. Đặt $a=\max(|a_n|,\ldots,|a_0|)$, $c=\max(|c_{n+1}|,\ldots,|c_0|)$. Chứng minh $a/c\le n+1$.
Cho các điểm phân biệt $P_1,P_2,\ldots,P_{1993}=P_0$ trong mặt phẳng $xy$ sao cho: (i) hai tọa độ của mỗi $P_i$ đều nguyên; (ii) với $i=0,1,\ldots,1992$, đoạn $P_iP_{i+1}$ không chứa điểm có hai tọa độ nguyên nào ngoài hai đầu mút. Chứng minh với một chỉ số $i$, có điểm $Q=(q_x,q_y)$ trên $P_iP_{i+1}$ sao cho cả $2q_x$ và $2q_y$ đều là số nguyên lẻ.
Sơ đồ một đường gấp khúc khép kín có số đỉnh lẻ trên lưới nguyên; bài toán có $1993$ đỉnh.
