Khối Void Cube là một khối lập phương $3\times3\times3$ không có các mảnh ở giữa, chỉ có những lỗ có thể nhìn xuyên qua như hình vẽ. Xét thiết diện của khối lập phương đi qua các đỉnh $A,B$ và $C$. Hãy vẽ thiết diện này. (Tô phần đặc của tam giác $ABC$ màu đen và phần rỗng màu trắng.)
Có 314 đồng xu trong 21 chiếc hộp mở. Trong mỗi lượt, bạn có thể lấy 1 đồng xu từ mỗi hộp trong hai hộp bất kỳ rồi đặt cả hai đồng vào một hộp thứ ba. Ở lượt cuối, bạn lấy tất cả các đồng xu từ một hộp. Số đồng xu lớn nhất bạn có thể lấy được là bao nhiêu?
Cho $P(x)$ là một đa thức bậc 3 và $x_1,x_2,x_3$ là các nghiệm của $P(x)=0$. Biết
$$\frac{P(1/3)-P(-1/3)}{P(0)}=8,\qquad\frac{P(1/4)-P(-1/4)}{P(0)}=9$$
và $x_1+x_2+x_3=35$. Tìm giá trị của
$$\frac{x_2+x_3}{x_1}+\frac{x_1+x_3}{x_2}+\frac{x_1+x_2}{x_3}.$$
Tứ giác $ABCD$ nội tiếp một đường tròn tâm $O$. Nối $AC$ và $BD$, chúng cắt nhau tại $K$. $O_1$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABK$ và $O_2$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDK$. Một đường thẳng $l$ qua $K$ cắt hai đường tròn ngoại tiếp này lần lượt tại $E$ và $F$, và cắt đường tròn ngoại tiếp $ABCD$ tại $G$ và điểm $H$. Chứng minh rằng $EG=FH$.
Giả sử $x,y$ và $z$ đều là các số thực không âm. Gọi $k$ và $m$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất có thể của $\frac{x^2+y^2+z^2+1}{xy+yz+z}$ và $\frac{x^2+y^2+z^2+1}{xy+y+z}$. Tìm $km+k+m$.
Dùng ba bản sao không chồng lấn của một L-tetromino để ghép thành một hình đối xứng. Mỗi L-tetromino phải có ít nhất một điểm chung với ít nhất một L-tetromino khác.
Tìm một cách ghép trong đó được phép quay các bản sao nhưng không được lật đối xứng.
