2017 InIMC keystage3-IWYMIC individual

Số tiểu thuyết bìa cứng bằng số sách giáo khoa bìa cứng; $\frac25$ số tiểu thuyết và $\frac34$ số sách giáo khoa có bìa cứng. Số sách bìa cứng chiếm bao nhiêu phần trong tổng số sách?

Một nông dân hái 2017 quả táo có khối lượng trung bình 100 gam. Khối lượng trung bình của tất cả các quả nặng hơn 100 gam là 122 gam, còn khối lượng trung bình của tất cả các quả nhẹ hơn 100 gam là 77 gam. Người nông dân đã hái ít nhất bao nhiêu quả táo nặng đúng 100 gam?

Tổng độ dài ba cạnh của một hình chữ nhật là 2017 cm, còn tổng độ dài cạnh thứ tư và đường chéo cũng là 2017 cm. Tìm độ dài đường chéo của hình chữ nhật, tính bằng cm.

Cách nhập đáp án: nhập một biểu thức chính xác; sqrt(n) biểu thị căn bậc hai.

Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $0\le a\le b\le c\le d$ và $c+d=a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $a+b$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc}$, trong đó $a,b$ và $c$ là các số thực dương.

Cách nhập đáp án: nhập một biểu thức chính xác; sqrt(n) biểu thị căn bậc hai.

Một bát giác có độ dài các cạnh là 3, 3, 11, 11, 15, 15, 15 và 15 cm nội tiếp một đường tròn. Diện tích bát giác, tính bằng $\text{cm}^2$, là bao nhiêu?

Nếu $x$ và $y$ là các số thực thỏa mãn $4x^2+y^2=4x-2y+7$, hãy tìm giá trị lớn nhất của $5x+6y$.

Trong tam giác $ABC$, các điểm $E$ và $D$ nằm trên cạnh $AC$, còn điểm $F$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $AE=ED=DC$ và $BF:FC=2:3$. $AF$ cắt $BD$ và $BE$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Tìm tỉ số diện tích $EDPQ$ với diện tích $ABC$.

Tổng các số thực không âm $x_1,x_2,\ldots,x_8$ bằng 8. Tìm giá trị lớn nhất có thể của biểu thức $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+\cdots+x_7x_8$.

Cho tam giác cân $ABC$ có $AB=AC$ và $\angle BAC=100^\circ$. Một điểm $P$ bên trong tam giác $ABC$ thỏa mãn $\angle CBP=35^\circ$ và $\angle PCB=30^\circ$. Tìm số đo của góc $\angle BAP$, tính bằng độ.

Nếu $xyz=-1$ và $a=x+\frac1x$, $b=y+\frac1y$, $c=z+\frac1z$, hãy tính $\sqrt{a^2+b^2+c^2+abc}$.

Mal, Num và Pin có số viên bi đôi một khác nhau. Năm lần tổng các tích số viên bi của từng cặp hai bạn bằng bảy lần tích số viên bi của cả ba bạn. Tìm tổng số viên bi lớn nhất có thể của ba bạn.

Cho $x$ và $y$ là các số nguyên không âm sao cho $2^6+2^x+2^{3y}$ là một số chính phương và biểu thức này phải nhỏ hơn 10 000. Tìm giá trị lớn nhất của $x+y$.

Cho tam giác $ABC$ có $\angle B=16^\circ$ và $\angle C=28^\circ$. Điểm $P$ nằm trên $BC$ sao cho $\angle BAP=44^\circ$, còn điểm $Q$ nằm trên $AB$ sao cho $\angle QCB=14^\circ$. Tìm $\angle PQC$, tính bằng độ.

Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai đa thức bậc hai khác nhau, có hệ số của số hạng bậc cao nhất đều bằng 1 và
$$f(1)+f(2017)+f(2017^2)=g(1)+g(2017)+g(2017^2).$$
Tìm $x$ nếu $f(x)=g(x)$.