2014 KIMC keystage3-IWYMIC individual

Một số có hai chữ số $x$ gấp đôi một số có hai chữ số khác là $y$. Tổng hai chữ số của $x$ bằng một chữ số của $y$, còn hiệu giữa hai chữ số của $x$ bằng chữ số còn lại của $y$. Giá trị lớn nhất của $y$ là bao nhiêu?

Hiệu bằng bao nhiêu khi lấy $1234567891\times1234567896\times1234567898$ trừ khỏi $1234567899\times1234567894\times1234567892$?

Trong tam giác $ABC$, $\angle CAB=18^\circ$ và $\angle BCA=24^\circ$. $E$ là một điểm trên $CA$ sao cho $\angle CEB=60^\circ$, còn $F$ là một điểm trên $AB$ sao cho $\angle AEF=60^\circ$. Số đo, tính bằng độ, của $\angle BFC$ là bao nhiêu?

Các số thực $x,y$ và $z$ thỏa mãn $x-7y+8z=4$ và $8x+4y-z=7$. Giá trị lớn nhất của $x^2-y^2+z^2$ là bao nhiêu?

Trong tam giác $ABC$, $\angle CAB=\angle BCA=45^\circ$. $L$ là trung điểm của $BC$, còn $P$ là một điểm trên $CA$ sao cho $BP$ vuông góc với $AL$. Nếu $CP=\sqrt2$ cm thì độ dài, tính bằng cm, của $AB$ là bao nhiêu?

Nếu $x,y$ và $z$ là ba số nguyên dương liên tiếp sao cho
$$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}$$
là số nguyên thì giá trị của $x+y+z$ là bao nhiêu?

Các số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $x^3+y^3=1957$ và $(x+y)(x+1)(y+1)=2014$. Giá trị của $x+y$ là bao nhiêu?

Trong hình bình hành $ABCD$, $\angle BAD=60^\circ$. $E$ là trung điểm của $BC$ và $F$ là trung điểm của $CD$. $BD$ cắt $AE$ tại $M$ và cắt $AF$ tại $N$. Nếu $AB=15$ cm và $AD=8$ cm thì độ dài, tính bằng cm, của $MN$ là bao nhiêu?

Có bao nhiêu cách xếp tám trẻ em (gồm Anna, Bert và Cody) ngồi quanh một bàn tròn, nếu Anna phải ngồi cạnh Bert và Anna không được ngồi cạnh Cody? Những cách xếp có cùng thứ tự theo chiều kim đồng hồ không được coi là khác nhau.

Số nguyên lớn nhất $n$ thỏa mãn $\left(\frac{21}{n}-2\right)^2-2\left(\frac{21}{n}-2\right)=n+42$ là bao nhiêu?

Xét tất cả các số nguyên dương không vượt quá 10000000000 mà mỗi chữ số đều là 0 hoặc 2. Tổng số chữ số 0 xuất hiện trong các số đó là bao nhiêu?

$A,B,C$ và $D$ là bốn điểm trên một đường tròn theo đúng thứ tự đó. Nếu $AD=BD=50\sqrt3$ cm, $AC=106.8$ cm và $\angle CAD=30^\circ$ thì độ dài, tính bằng cm, của $BC$ là bao nhiêu?

Trên bảng được viết các nghịch đảo của 2014 số nguyên dương đầu tiên. Trong một bước, ta có thể xóa hai số rồi thay chúng bằng tổng của tổng và tích của hai số đó. Cuối cùng chỉ còn lại một số. Giá trị lớn nhất của số này là bao nhiêu?

Trong tam giác $ABC$, $\angle ABC=\angle ACB=30^\circ$. $O$ là một điểm sao cho $OA=OC=1$ cm và $OB=2$ cm. Ngoài ra, $\angle CAB=\angle CAO+\angle OAB$. Độ dài, tính bằng cm, của $BC$ là bao nhiêu?

Tháp Daejeon gồm 7 đĩa có kích thước khác nhau, được xếp theo thứ tự kích thước tăng dần từ trên xuống dưới trên cọc thứ nhất trong ba cọc. Nhiệm vụ là chuyển tháp từ cọc thứ nhất sang cọc thứ ba. Trong mỗi bước, đĩa trên cùng của một cọc có thể được chuyển lên trên cùng của một cọc kề bên. Vì vậy không được chuyển trực tiếp từ cọc thứ nhất sang cọc thứ ba hoặc ngược lại. Đĩa lớn hơn không bao giờ được đặt trên đĩa nhỏ hơn. Cần ít nhất bao nhiêu bước chuyển?