IMC 2009 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi cá nhân

$a,b,c$ là ba số nguyên lẻ liên tiếp tăng dần. Tính $a^2-2b^2+c^2$.

Máy đổi số nguyên dương $n$ thành $n(n+1)/2$. Bắt đầu với năm và dùng máy hai lần. Kết quả cuối là bao nhiêu?

Các em $A,B,C$ hái xoài. $A,B$ cộng lại ít hơn $C$ sáu quả; $B,C$ nhiều hơn $A$ mười sáu; $C,A$ nhiều hơn $B$ tám. Tìm tích số quả mỗi em.

Trong nửa đường tròn tâm $O$ đã vẽ, tia từ $M$ vuông góc đường kính $PA$, phản xạ tại $C$ với $\angle MCO=\angle OCB$, rồi tương tự tại $B$ và chạm $A$. Tính $\angle COM$ theo độ.

Mười chín em tuổi từ một đến mười chín đứng thành vòng. Ghi hiệu tuổi dương mỗi cặp kề. Tổng mười chín hiệu lớn nhất là bao nhiêu?

Rút gọn tối giản $$\frac{(2^4+2^2+1)(4^4+4^2+1)\cdots(10^4+10^2+1)}{(3^4+3^2+1)(5^4+5^2+1)\cdots(11^4+11^2+1)}.$$

Tứ giác $ABCD$ không nội tiếp. $E,F,G,H$ lần lượt là tâm ngoại tiếp $ABD,ADC,BCD,ABC$. $EG,FH$ gặp tại $I$, với $AI=4$, $BI=3$ cm. Tính $CI$ theo cm.

Bài kiểm tra cần sáu mươi lăm trên một trăm để đạt. Trung bình lớp sáu mươi sáu; nhóm đạt bảy mươi mốt, chưa đạt năm mươi sáu. Cộng năm điểm cho mỗi em. Trung bình nhóm đạt mới bảy mươi lăm, chưa đạt năm mươi chín. Lớp có từ mười lăm đến ba mươi em, hỏi bao nhiêu?

Có bao nhiêu tam giác vuông cạnh nguyên khác nhau có một cạnh góc vuông bằng $2009^{12}$ cm? Đổi chỗ hai cạnh góc vuông không tạo tam giác mới.

Tìm số nguyên sáu chữ số nhỏ nhất mà tổng chữ số của nó và của số kế tiếp đều chia hết hai mươi sáu.

Trên đường tròn có $2009$ điểm xanh và một điểm đỏ. Jordan đếm đa giác lồi chỉ có đỉnh xanh; Kiril đếm các đa giác có đỉnh đỏ. Hai số lượng chênh nhau bao nhiêu?

Musa có ba trăm năm mươi chai: nước bán bốn rand, nước giải khát bảy rand. Không bán hết; thu $2009$ rand. Số chai nước giải khát đã bán nhỏ nhất là bao nhiêu?

Mười người chơi cờ mỗi cặp đấu đúng một lần. Đến lúc này, trong bất kỳ ba người có ít nhất hai chưa đấu nhau. Số trận đã đấu nhiều nhất là bao nhiêu?

$P$ trong $ABC$, $\angle PBC=30^\circ$, $\angle PBA=8^\circ$, $\angle PAB=\angle PAC=22^\circ$. Tính $\angle APC$ theo độ.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất viết được thành tổng bốn chính phương dương, có thể lặp, và chia hết $2^n+15$ với $n$ nguyên dương nào đó.