Câu hỏi 3
Cho một tam giác $ABC$ cố định vuông ở $A$ và đường cao $AH$. Từ chân $H$ của đường cao ta hạ các đường vuông góc $HP$ và $HQ$ theo thứ tự xuống các cạnh $AB$ và $AC$. Cho một điểm $M$ chạy tùy ý trên đường thẳng $PQ$; đường thẳng vuông góc với đường thẳng $MH$ ở điểm $M$ cắt đường thẳng $AB$ ở $R$ và cắt đường thẳng $AC$ ở $S$.
(a) Có những nhận xét gì về đường tròn qua ba điểm $A,R,S$ và chứng minh những nhận xét đó.
(b) Nếu ta lấy đi hai vị trí của $M_1,M_2$ của điểm $M$ thì ta sẽ có các vị trí tương ứng $R_1,R_2$ của điểm $R$, $S_1,S_2$ của điểm $S$. Chứng minh rằng tỉ số $R_1R_2/S_1S_2$ không thay đổi. Tam giác $ABC$ phải thỏa mãn điều kiện gì để cho $R$ và $S$ chạy với những vận tốc như nhau (khi $M$ chạy trên đường thẳng $PQ$).
(c) Ta lấy điểm $K$ đối xứng với điểm $H$ qua tâm đối xứng $M$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $PQ$ cắt đường thẳng $RS$ ở điểm $D$. Chứng minh rằng $\angle BHR=\angle DHR$. Hãy phát hiện thêm một đẳng thức tương tự.
Ghi chú phạm vi: Cách dựng với vị trí tùy ý và khẳng định in ở (c) cần được xem xét; giữ nguyên nội dung nguồn.
(a) Có những nhận xét gì về đường tròn qua ba điểm $A,R,S$ và chứng minh những nhận xét đó.
(b) Nếu ta lấy đi hai vị trí của $M_1,M_2$ của điểm $M$ thì ta sẽ có các vị trí tương ứng $R_1,R_2$ của điểm $R$, $S_1,S_2$ của điểm $S$. Chứng minh rằng tỉ số $R_1R_2/S_1S_2$ không thay đổi. Tam giác $ABC$ phải thỏa mãn điều kiện gì để cho $R$ và $S$ chạy với những vận tốc như nhau (khi $M$ chạy trên đường thẳng $PQ$).
(c) Ta lấy điểm $K$ đối xứng với điểm $H$ qua tâm đối xứng $M$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $PQ$ cắt đường thẳng $RS$ ở điểm $D$. Chứng minh rằng $\angle BHR=\angle DHR$. Hãy phát hiện thêm một đẳng thức tương tự.
Ghi chú phạm vi: Cách dựng với vị trí tùy ý và khẳng định in ở (c) cần được xem xét; giữ nguyên nội dung nguồn.