Ngân hàng câu hỏi SEAMO 2017

Tính $\left(1-\frac1{2^2}\right)\left(1-\frac1{3^2}\right)\cdots\left(1-\frac1{2006^2}\right)\left(1-\frac1{2007^2}\right)$.

Cho $y=(x+11)(x-13)(x-11)(x+13)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $y$.

Khi chia $1245,1794,2160$ cho số nguyên dương $x$, các số dư đều bằng một số nguyên dương $y$. Tính $x+y$.

Đường tròn tâm $O_1$ tiếp xúc với hình quạt $120^\circ$ tại $C,D,E$. Biết cung $\widehat{AB}$ dài $1$, tính chu vi đường tròn.

Bốn số nguyên tố được viết theo thứ tự tăng dần. Tích ba số đầu là $385$, tích ba số cuối là $1001$. Tìm số đầu tiên.

Một túi có $b$ viên bi đen và $a$ viên bi trắng. Xác suất lấy bi trắng là $\frac3{10}$. Sau khi thêm $10$ viên bi trắng, xác suất này là $\frac13$. Tính $a+b$.

Neha trượt từ $A$ với vận tốc $8\,\mathrm{m/s}$ theo tia tạo với $AB$ góc $60^\circ$. Harsha đồng thời trượt từ $B$ với vận tốc $7\,\mathrm{m/s}$. Trong hình $AB=100\,\mathrm m$. Tìm quãng đường ngắn nhất Harsha đi trước khi gặp Neha.

Biết $\cos Q=\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}$. Tìm $\sin Q$.

Rút gọn $\sqrt{21+12\sqrt3}-\sqrt{21-12\sqrt3}$.

Tìm số $n$ lớn nhất sao cho chỉ có một số nguyên $k$ thỏa mãn $\frac8{15}\lt \frac n{n+k}\lt \frac7{13}$.

Cho $m=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}$, $n=\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}$. Tính $\frac n{m^2}+\frac m{n^2}$.

Phần đầu hành trình, nhóm B đi bộ còn A đi xe buýt; phần sau, A đi bộ còn B đi xe. Xe chạy $40\,\mathrm{km/h}$ khi chở người và $50\,\mathrm{km/h}$ khi không chở người. Vận tốc đi bộ là $4\,\mathrm{km/h}$. Hai nhóm đến cùng lúc. Tìm tỉ số quãng đường đi bộ so với đi xe.

Trong một dãy số nguyên dương, mỗi số hạng sau hai số đầu bằng trung bình cộng của tất cả số hạng trước nó. Biết số hạng thứ $2559$ bằng $2017$, có bao nhiêu dãy khác nhau?

Bốn đường tròn bằng nhau nằm trong hình vuông ngoại tiếp có diện tích $64\,\mathrm{cm}^2$. Đường tròn nhỏ tiếp xúc với cả bốn đường tròn như hình. Tính đường kính đường tròn nhỏ.

Tìm số dư khi chia $1^5+2^5+\cdots+99^5+100^5$ cho $4$.

Tính $\frac1{a-b}+\frac1{a+b}+\frac{2a}{a^2+b^2}+\frac{4a^3}{a^4+b^4}$.

Cho các số nguyên dương $n_1,n_2,\ldots,n_{2017}$, $x=(n_1+\cdots+n_{2016})(n_2+\cdots+n_{2017})$, $y=(n_1+\cdots+n_{2017})(n_2+\cdots+n_{2016})$. Khẳng định nào đúng?

Đường tròn nhỏ bán kính $r$, tâm $D$, tiếp xúc với ba nửa đường tròn bằng nhau có các tâm $A,B,C$, bán kính $R$ như hình. Tính $R:r$.

$\alpha,\beta$ là nghiệm của $x^2+mx+n=0$, với $\alpha\gt 1$, $-1\lt \beta\lt 1$, $m,n$ nguyên. Tìm $m,n$ khi $\alpha^3+\beta^3\le4$.

Tìm $N$ trong $\frac1{2!15!}+\frac1{3!14!}+\frac1{4!13!}+\frac1{5!12!}=\frac N{1!16!}$.