Câu hỏi 4
Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các mặt là tam giác nhọn. Đặt
$$\sigma=\angle DAB+\angle BCD-\angle ABC-\angle CDA.$$
Xét tất cả các đường gấp khúc kín $XYZTX$ có các đỉnh $X,Y,Z,T$ lần lượt nằm trong phần trong của các đoạn $AB,BC,CD,DA$. Chứng minh rằng:
(a) nếu $\sigma\ne0$, không có đường gấp khúc $XYZT$ nào có độ dài nhỏ nhất;
(b) nếu $\sigma=0$, có vô số đường gấp khúc như vậy có độ dài nhỏ nhất. Độ dài đó bằng $2AC\sin(\alpha/2)$, trong đó
$$\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB.$$
$$\sigma=\angle DAB+\angle BCD-\angle ABC-\angle CDA.$$
Xét tất cả các đường gấp khúc kín $XYZTX$ có các đỉnh $X,Y,Z,T$ lần lượt nằm trong phần trong của các đoạn $AB,BC,CD,DA$. Chứng minh rằng:
(a) nếu $\sigma\ne0$, không có đường gấp khúc $XYZT$ nào có độ dài nhỏ nhất;
(b) nếu $\sigma=0$, có vô số đường gấp khúc như vậy có độ dài nhỏ nhất. Độ dài đó bằng $2AC\sin(\alpha/2)$, trong đó
$$\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB.$$