Ngân hàng câu hỏi AMC10 2017

Giá trị của biểu thức sau là gì?

$$
\begin{aligned} &2(2(2(2(2(2+1)+1)\\ &\qquad{}+1)+1)+1)+1 \end{aligned}
$$

Pablo mua kem que cho bạn bè. Cửa hàng bán từng cây kem với giá $\$1$, $3$-hộp kem cho $\$2$ mỗi chiếc, và $5$-hộp kem cho $\$3.$ Số lượng kem que lớn nhất mà Pablo có thể mua bằng $\$8?$ là bao nhiêu?

Tamara có ba hàng bồn hoa hai $6$-feet x $2$-feet trong khu vườn của cô ấy. Các giường được tách biệt và được bao quanh bởi lối đi rộng $1$, như minh họa trên sơ đồ. Tổng diện tích của lối đi, tính bằng feet vuông là bao nhiêu?

Mia đang “giúp” mẹ nhặt $30$ đồ chơi vương vãi trên sàn. Mẹ của Mia cố gắng đặt đồ chơi $3$ vào hộp đồ chơi cứ sau $30$ giây, nhưng mỗi lần ngay sau khi $30$ giây đó trôi qua, Mia lại lấy đồ chơi $2$ ra khỏi hộp. Mia và mẹ sẽ mất bao nhiêu thời gian, tính bằng phút để lần đầu tiên đặt tất cả đồ chơi $30$ vào hộp?

Tổng của hai số thực khác 0 là $4$ nhân với tích của chúng. Tổng nghịch đảo của hai số là bao nhiêu?

Cô Carroll hứa rằng bất kỳ ai trả lời được tất cả các câu hỏi bội số phương án ngay trong kỳ thi sắp tới sẽ nhận được điểm A trong kỳ thi. Câu nào trong số những câu này nhất thiết phải tuân theo một cách hợp lý?

Jerry và Silvia muốn đi từ góc tây nam của một cánh đồng hình vuông đến góc đông bắc. Jerry đi về hướng đông rồi đi về hướng bắc để đến đích, nhưng Silvia đi về phía đông bắc và đến đích theo một đường thẳng. Điều nào sau đây gần nhất với chuyến đi của Silvia ngắn hơn bao nhiêu so với chuyến đi của Jerry?

Tại một cuộc tụ tập gồm $30$ người, có $20$ những người đều biết nhau và $10$ những người không biết ai. Người quen ôm nhau, người không quen bắt tay. Có bao nhiêu cái bắt tay xảy ra?

Minnie lái xe trên đường bằng phẳng với tốc độ $20$ kilômét một giờ (kph), xuống dốc với tốc độ $30$ kph và lên dốc với tốc độ $5$ kph. Penny lái xe trên đường bằng phẳng với tốc độ $30$ km/h, xuống dốc ở $40$ km/h và lên dốc với tốc độ $10$ km/h. Minnie đi từ thị trấn $A$ đến thị trấn $B,$ khoảng cách $10$ km lên dốc, sau đó từ thị trấn $B$ đến thị trấn $C,$ khoảng cách $15$ km đều xuống dốc, rồi quay lại thị trấn $A,$ khoảng cách $20$ km trên mặt phẳng. Penny đi ngược lại bằng cách sử dụng cùng một tuyến đường. Minnie phải mất bao nhiêu phút để hoàn thành chuyến đi $45$-km so với Penny?

Joy có $30$ thanh mỏng, mỗi thanh có chiều dài nguyên từ $1$ cm đến $30$ cm. Cô đặt các thanh có chiều dài $3$ cm, $7$ cm và $15$ cm trên bàn. Sau đó, cô ấy muốn chọn thanh thứ tư mà cô ấy có thể đặt cùng với ba thanh này để tạo thành một tứ giác có dương diện tích. Hỏi cô có thể chọn bao nhiêu thanh còn lại làm thanh thứ tư?

Vùng bao gồm tất cả các điểm trong không gian ba chiều trong $3$ đơn vị của đoạn đường $\overline{AB}$ có thể tích $216\pi.$ Độ dài $AB?$ là bao nhiêu

Đặt $S$ là tập hợp các điểm $(x,y)$ trong mặt phẳng tọa độ sao cho hai trong ba đại lượng $3,$ $x+2,$ và $y-4$ bằng nhau và đại lượng thứ ba trong ba đại lượng không lớn hơn giá trị chung này. Mô tả nào sau đây là đúng về $S?$

Xác định trình tự đệ quy theo $F_{0}=0,$ $~F_{1}=1,$ và $F_{n}=$ the số dư khi $F_{n-1}+F_{n-2}$ được chia cho $3,$ cho tất cả $n\geq 2.$ Do đó, chuỗi bắt đầu $0,$ $1,$ $1,$ $2,$ $0,$ $2,$ $\ldots.$ $$
F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+
$$$$
F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}?
$$ là gì

Mỗi tuần Roger trả tiền vé xem phim và nước ngọt bằng tiền tiêu vặt của mình. Tuần trước, trợ cấp của Roger là $A$ đô la. Giá vé xem phim của anh ấy là $20\%$ của chênh lệch giữa $A$ và giá nước ngọt của anh ấy, trong khi giá nước ngọt của anh ấy là $5\%$ của chênh lệch giữa $A$ và giá vé xem phim của anh ấy. Đến phần trăm gần nhất, Roger đã trả bao nhiêu phần trăm của $A$ cho vé xem phim và nước ngọt của mình?

Chloé chọn ngẫu nhiên một số thực thống nhất từ khoảng $[0, 2017].$

Một cách độc lập, Laurent chọn một số thực một cách ngẫu nhiên một cách thống nhất từ khoảng $[0, 4034].$

xác suất số của Laurent lớn hơn số của Chloé là bao nhiêu?

Có $10$ ngựa, được đặt tên là Ngựa $1,$ Ngựa $2,$, v.v. thông qua Ngựa $10.$ Chúng lấy tên từ số phút chúng chạy một vòng quanh một đường đua hình tròn: Ngựa $k$ chạy một vòng trong đúng $k$ phút. Tại thời điểm $0$ tất cả các con ngựa đều cùng nhau về điểm xuất phát trên đường đua. Những con ngựa bắt đầu chạy theo cùng một hướng và chúng tiếp tục chạy quanh đường tròn với tốc độ không đổi.

Thời gian ít nhất $S > 0,$ tính bằng phút, tại đó tất cả $10$ con ngựa sẽ lại đồng thời ở điểm xuất phát là $S=2520.$ Đặt $T > 0$ là thời gian ít nhất, tính bằng phút, sao cho ít nhất $5$ của các con ngựa lại ở điểm xuất phát. Tổng các chữ số của $T?$ là bao nhiêu

Các điểm phân biệt $P,$ $Q,$ $R,$ $S$ nằm trên đường tròn $x^{2}+y^{2}=25$ và có tọa độ nguyên. Khoảng cách $PQ$ và $RS$ là số vô tỷ.

Giá trị lớn nhất có thể có của tỷ số $\dfrac{PQ}{RS}?$ là bao nhiêu?

Amelia có một đồng xu rơi vào mặt ngửa với xác suất $\frac{1}{3},$ và Blaine có một đồng xu rơi vào mặt ngửa với xác suất $\frac{2}{5}.$ Amelia và Blaine lần lượt tung đồng xu của họ cho đến khi ai đó nhận được mặt ngửa; người đầu tiên giành được đầu sẽ thắng. Tất cả các lần tung đồng xu đều độc lập. Amelia đi trước. xác suất mà Amelia thắng là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. $q-p?$ là gì

Alice từ chối ngồi cạnh Bob hoặc Carla. Derek từ chối ngồi cạnh Eric. Có bao nhiêu cách để năm người họ ngồi vào một hàng ghế $5$ trong những điều kiện này?

Đặt $S(n)$ bằng tổng các chữ số của số nguyên dương $n.$ Ví dụ: $S(1507) = 13.$ Đối với một số nguyên dương cụ thể $n,$ $S(n) = 1274.$

Giá trị nào sau đây có thể là giá trị của $S(n+1)?$