AMC 10B năm 2017

Mary nghĩ ra một số dương có hai chữ số. Cô nhân nó với $3$ và thêm $11.$ Sau đó, cô đổi các chữ số của kết quả, thu được một số nằm trong khoảng từ $71$ đến $75,$. Số của Mary là gì?

Sofia đã chạy $5$ vòng quanh đường đua $400$ tại trường của cô ấy. Đối với mỗi vòng đua, cô chạy $100$ mét đầu tiên với tốc độ trung bình là $4$ mét mỗi giây và $300$ mét còn lại với tốc độ trung bình là $5$ mét mỗi giây. Sofia mất bao nhiêu thời gian để chạy vòng $5$?

Các số thực $x,$ $y,$ và $z$ thỏa mãn các bất đẳng thức $0 < x < 1,$ $-1 < y < 0,$ và $1 < z < 2.$

Số nào sau đây nhất thiết phải dương?

Giả sử rằng $x$ và $y$ là các số thực khác 0 sao cho $$
\frac{3x+y}{x-3y}=-2.
$$ Giá trị của $$
\frac{x+3y}{3x-y}?
$$ là bao nhiêu

Camilla có số hạt thạch việt quất nhiều gấp đôi số hạt thạch anh đào. Sau khi ăn $10$ từng miếng, giờ đây cô ấy có số hạt thạch việt quất nhiều gấp ba lần số hạt thạch anh đào. Ban đầu cô ấy có bao nhiêu hạt thạch việt quất?

Số lượng lớn nhất của khối $2$-trong $\times$ $2$-trong $\times$ $1$-trong khối có thể vừa trong $3$-trong $\times$ $2$-in là bao nhiêu $\times$ $3$-trong hộp?

Samia đạp xe đi thăm bạn mình, di chuyển với tốc độ trung bình $17$ km một giờ. Khi cô ấy đi được nửa quãng đường đến nhà bạn mình thì một chiếc lốp bị xẹp và cô ấy đi bộ quãng đường còn lại với vận tốc $5$ km/h.

Tổng cộng, cô ấy phải mất $44$ phút để đến được nhà bạn mình. Tính bằng km làm tròn đến phần mười gần nhất, Samia đã đi được bao xa?

Điểm $A(11, 9)$ và $B(2, -3)$ là các đỉnh của $\triangle ABC$ với $AB=AC.$ Độ cao từ $A$ gặp cạnh đối diện tại $D(-1, 3).$ Tọa độ của điểm $C?$ là gì

Một chương trình phát thanh có một bài kiểm tra bao gồm $3$ bội số-phương án câu hỏi, mỗi câu hỏi có $3$ lựa chọn. Thí sinh thắng nếu trả lời đúng $2$ câu hỏi trở lên. Thí sinh trả lời ngẫu nhiên từng câu hỏi. xác suất chiến thắng là gì?

Các đường thẳng có phương trình $ax-2y=c$ và $2x+by=-c$ vuông góc và cắt nhau tại $(1, -5).$ $c?$

Tại trường trung học Typico, $60\%$ học sinh thích khiêu vũ, còn lại thì không thích. Trong số những người thích khiêu vũ, $80\%$ nói rằng họ thích, còn những người còn lại nói rằng họ không thích. Trong số những người không thích khiêu vũ, $90\%$ nói rằng họ không thích, và những người còn lại nói rằng họ thích nó. Tỷ lệ học sinh nói rằng họ không thích khiêu vũ thực sự thích nó?

Xe mới của Elmer có $50\%$ tiết kiệm nhiên liệu tốt hơn, tính bằng km trên lít, so với xe cũ của anh ấy. Tuy nhiên, chiếc ô tô mới của anh ấy sử dụng nhiên liệu diesel, $20\%$ đắt hơn mỗi lít so với loại xăng mà chiếc xe cũ của anh ấy sử dụng. Elmer sẽ tiết kiệm được bao nhiêu phần trăm tiền nếu anh ấy sử dụng chiếc xe mới thay vì chiếc xe cũ trong một chuyến đi dài?

Có $20$ học sinh tham gia chương trình sau giờ học cung cấp các lớp học yoga, đánh cầu và hội họa. Mỗi học sinh phải học ít nhất một trong ba lớp này, nhưng có thể học hai hoặc cả ba lớp.

Có $10$ học sinh tập yoga, $13$ chơi cầu và $9$ học vẽ. Có $9$ học sinh học ít nhất hai lớp. Hỏi có bao nhiêu học sinh học cả ba lớp?

Một số nguyên $N$ được chọn ngẫu nhiên trong phạm vi $1\leq N \leq 2020$. xác suất mà số dư khi $N^{16}$ chia cho $5$ là $1?$

Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3$ và $BC=4.$ Điểm $E$ là chân đường vuông góc từ $B$ đến đường chéo $\overline{AC}.$ diện tích của $\triangle ADE?$

Có bao nhiêu chữ số cơ số mười của số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng $2017$ chứa chữ số $0?$

Gọi một số nguyên dương *đơn điệu* nếu đó là số có một chữ số hoặc các chữ số của nó, khi đọc từ trái sang phải, sẽ tạo thành một dãy tăng hoặc giảm nghiêm ngặt. Ví dụ: $3,$ $23578,$ và $987620$ là đơn điệu, nhưng $88,$ $7434,$ và $23557$ thì không. Có bao nhiêu số nguyên dương đơn điệu?

Trong hình bên dưới, $3$ của các đĩa $6$ sẽ được sơn màu xanh lam, $2$ sẽ được sơn màu đỏ và $1$ sẽ được sơn màu xanh lá cây. Hai bức tranh có thể thu được từ nhau bằng cách xoay hoặc phản chiếu toàn bộ hình được coi là giống nhau. Có thể vẽ được bao nhiêu bức tranh khác nhau?

Đặt $ABC$ là tam giác đều. Kéo dài cạnh $\overline{AB}$ ngoài $B$ đến một điểm $B'$ sao cho $BB'=3 \cdot AB.$ Tương tự, mở rộng cạnh $\overline{BC}$ ngoài $C$ đến một điểm $C'$ sao cho $CC'=3 \cdot BC,$ và kéo dài cạnh $\overline{CA}$ ngoài $A$ đến một điểm $A'$ sao cho $AA'=3 \cdot CA.$

Tỷ lệ của diện tích của $\triangle A'B'C'$ với diện tích của $\triangle ABC?$ là bao nhiêu

Số $21!$ $=51{,}090{,}942{,}171{,}709{,}440{,}000$ có hơn $60{,}000$ ước số nguyên dương. Một trong số họ được chọn ngẫu nhiên. xác suất kỳ lạ là gì?