SEAMO 2023 — Paper E — Lớp 9–10

Tính $\dfrac{\sqrt{40}+6}{\sqrt{40}-6}+\dfrac{\sqrt{40}-6}{\sqrt{40}+6}$.

Cho $\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt2$, tính $\sin\alpha\cos\alpha$.

Với số nguyên dương $a$, cả $100a+64$ và $201a+64$ đều là số chính phương nhỏ hơn $10000$. Tìm $a$.

Cho $A=1\cdot2\cdot3\cdots2022\cdot2023$. Có bao nhiêu chữ số $0$ liên tiếp ở cuối $A$?

Trong hình vuông $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Phân giác $AF$ của $\angle BAC$ cắt $BD$ tại $G$ và $BC$ tại $F$. Viết $OG:CF=m:n$ với hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, tính $m+n$.

Tính $\displaystyle\sum_{r=1}^{89}\log_{10}\tan\frac{\pi r}{180}$.

Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho $2^n$ chia hết $3^{1024}-1$.

Trong tam giác $ABC$, $D$ thuộc $BC$, $AD$ phân giác $\angle BAC$ và $E$ là chân đường vuông góc từ $C$ xuống $AB$. Cho $\angle CDA=45^\circ$, tìm $\angle BED$.

Rút gọn $\bigl||x-1|-2\bigr|+|x+1|$ khi $1\le x\le3$.

Cho $\log_2[\log_{1/2}(\log_2 x)]=\log_3[\log_{1/3}(\log_3 y)]=\log_5[\log_{1/5}(\log_5 z)]=0$, quan hệ nào đúng?

Với các số thực dương $a,b,c$, tìm giá trị nhỏ nhất của $u=\left\lfloor\dfrac{a+b}{c}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{b+c}{a}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{c+a}{b}\right\rfloor$, trong đó dấu ngoặc chỉ phần nguyên.

Tam giác $ABC$ có $AB=5$, $BC=8$, $CA=11$. Điểm $D$ thuộc $BC$ và $AD$ phân giác $\angle BAC$. Tính diện tích tam giác $ACD$.

Cho $S=1+\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}+\cdots+\dfrac1{2023^2}$. Tìm $\lfloor S\rfloor$.

Tổng $n$ số hạng đầu của $\{a_n\}$ là $S_n=2a_n-1$. Dãy $\{b_n\}$ thỏa mãn $b_1=3$ và $b_{k+1}=b_k+a_k$ với $k\ge1$. Tính tổng $8$ số hạng đầu của $\{b_n\}$.

Nối tất cả giao điểm của hai đồ thị $x^2+(y-1)^2=1$ và $9x^2+(y+1)^2=9$. Thu được hình gì?

Noppon đi từ $A$ đến $B$ rồi quay lại. Vận tốc xuống dốc là $12$ km/h, lên dốc là $4$ km/h. Lượt đi mất $50$ phút, lượt về mất $1\frac12$ giờ. Tìm quãng đường từ $A$ đến $B$ theo km.

Số nguyên dương $n$ làm cho $n^2+5n+13$ là số chính phương. Tìm $n$.

Trong tam giác $ABC$, $a,b,c$ đối diện các góc $A,B,C$ và $\dfrac{b+c}{10}=\dfrac{c+a}{15}=\dfrac{a+b}{11}$. Tìm $\sin A:\sin B:\sin C$.

Trong hình, $\angle A=\angle BEF=\angle EBC=\angle ECD=90^\circ$, $\angle ABF=30^\circ$, $\angle BFE=45^\circ$, $\angle ECB=60^\circ$ và $AB=2CD$. Tính $\tan\angle CDE$.

$I$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$. Tia $AI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tại $D$. Cho $AB=3$, $AC=4$ và $[IBC]=[DBC]$, tìm $BC$.