VTMO 2022 — Lớp 9 — Đề VTMO (không ghi vòng)

Tính $S=\sum_{k=2}^{100}\frac{k+(k-1)+\sqrt{k(k-1)}}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}$.

Tăng chiều dài, rộng chữ nhật mỗi cạnh $3$ đơn vị thì diện tích gấp đôi. Giảm hai chiều ban đầu mỗi cạnh $3$ thì diện tích mới bao nhiêu?

$P$ chia $2 x + 1$ dư $- 4$, chia $5 x - 2$ dư $5$; chia $10 x^{2} + x - 2$ thươngx, dư bậc $\lt 2$. Tính $P \left(2\right)$.

Bàn loại $I$ ngồi $2$ người, $II = 4 , III = 8$. Bàn $I , II$ có $1$ bình hoa; $III$ có $2$. Quán có $14$ bình hoa, chứa tối đa $46$ người. Số bàn ít nhất?

$A , B$ thuộc đường thẳng $y = 2 x - 5$ để $OAB$ vuông cân tại $O$. Tính diện tích $OAB$.

Chia $1 , 2 , \ldots , 9$ thành ba nhóm, mỗi nhóm $3$ phần tử, tổng từng nhóm chia hết $3$. Có bao nhiêu cách?

Đa giác đều $20$ cạnh. Có bao nhiêu tam giác lấy đỉnh trong đa giác và có một góc lớn hơn $100 ^{\circ}$?

$\left[a\right]$ là số nguyên lớn nhất không vượt $a$. Có bao nhiêu $n$ nguyên để $A = | \left[\frac{5 n^{2} + 9 n + 1}{2}\right] |$ nguyên tố?

$ABC$ cân $A , D \in BC , BC = 3 BD$. $CE \perp AD$ tại $E \in AD , \angle AEB = 128 ^{\circ}$. Tính $\angle BAC$.

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp, $AB = 3 , AD = 5 , BC = CD = 7$. Tính diện tích.

An, Bình cùng hoàn thành việc trong $3$ giờ. Nếu là $m$ riêng, mỗi thời gian là số tự nhiên; Bình nhanh hơn An. Bình là $m$ riêng mất mấy giờ?

Ba chữ số khác nhau $a , b , c$ thỏa $[ a$ lặp $2022$ lần rồi $b$ lặp $2022$ lần]$+ 1 = ( [ c$ lặp $2022$ lần]$+ 1 )^{2}$. Maxa $+ b + c$?

Điền $1 , 2 , 3$ vào bảng $5 \times 5$ để mỗi hình vuông $2 \times 2$ có đủ cả ba số. Tìm tổng nhỏ nhất.

Nam nghĩ số $A$, đưa bốn nhận xét: $A + 19$ nguyên tố; $A + 1$ chính phương; $9 A - 14$ chính phương; $6 A - 24$ có đúng $8$ ước nguyên dương. Đúng ba nhận xét, sai một. Tìm $A$.

Trong tam giác $ABC$ vuông $A , AB = 27 , AC = 36$, bốn đường tròn cùng bán kính tiếp xúc nhau và các cạnh như hình. Tính bán kính.

$ABC$ nhọn, $AB \lt AC$, nội tiếp $\left(O\right)$. Tiếp tuyến $B , C$ gặp $M$; $MA$ cắt $\left(O\right)$ lần hai $E$. Qua $E$ song song $BC$ cắt $\left(O\right)$ lần hai $F$. Đường tròn $\left(I\right)$ qua $A$, tiếp xúc $BC$ tại $C$, cắt $AF$ lần hai $N$. Chứng minh $BC$ là trung trực $NE$.

Bảng $5 \times 5$ có bóng đèn ở mỗi ô. Bấm một ô đổi trạng thái nó và các ô chung cạnh. Ban đầu chỉ ô giữa tắt, các ô khác bật như hình. Có thể tắt hết không?