VTMO 2019 — Lớp 9 — Chung kết

$a$)Giải $x^{2} + 3 x \sqrt{x + 1} = \left(\frac{27}{4}\right) \left(x + 1\right)$. $b$)Tìm cặp nguyên tố $\left(p , q\right)$ để $p^{2} + 5 pq + 4 q^{2}$ chính phương.

$a ) a^{3} + b^{3} + 6 ab = 8 , a , b$ thực; tìm $a + b$. $b$)Tìm $a$ thực để $a + 3 \sqrt{11}$ và $\frac{1}{a} - 3 \sqrt{11}$ cùng nguyên.

Tìm hai số nguyên dương khác nhau có trung bình cộng và trung bình nhân là hai số hai chữ số, cùng hai chữ số nhưng đảo thứ tự.

$ABCD$ tứ giác lồi, $M , N$ trung điểm $BC , AD , P = AM \cap BN , Q = DM \cap CN$. Chứng minh $S_{PAB} + S_{QCD} = S_{MPNQ}$.

$\left(O\right)$ đường kính $AB , M$ trung điểm $OB$. Qua $M$ vuông góc $AB$ cắt $\left(O\right)$ tại $C$. $E \in AB , E \ne A , B$; $CE$ cắt $\left(O\right)$ tại $D$. $BH \perp CD , H \in CD$. $a ) CH = \frac{AD}{2}$. $b ) BH$ cắt $\left(O\right)$ tại $F , I$ trung điểm $DF$; chứng minh $I$ trên đường tròn cố định khi $E$ thay đổi.

Viết liền các số $4$ chữ số từ $1111$ đến $9999$ theo thứ tự bất kỳ, được số $35556$ chữ số. Chứng minh chia $11$.