VTMO 2016 — Lớp 9 — Chung kết

$abcd = 1 , a , b , c , d \gt 0$. Chứng minh $a ) \left(ac + bd\right) \left(ad + bc\right) \ge \left(a + b\right) ( c + d$); $b ) \frac{1}{a \left(1 + b\right)} + \frac{1}{b \left(1 + c\right)} + \frac{1}{c \left(1 + d\right)} + \frac{1}{d \left(1 + a\right)} \ge 2$.

$a$)Giải nguyên $\left(3 x^{2} + y^{2} - 4 y - 17\right)^{3} - \left(2 x^{2} + 2 y^{2} - 4 y - 6\right)^{3} = \left(x^{2} - y^{2} - 11\right)^{3}$. $b ) 5 x + 4 y + 3 z + 6 t = 20 , x \ge y \ge z \ge t \ge 0$; tìm min, $\max x + y + z + t$.

$a , b , c , d$ nguyên dương, $a \gt b , c \gt d , a + b + c + d = ab - cd$. Chứng minh $a + c$ là hợp số.

$n$ đồng tiền ban đầu đều ngửa. Mỗi thao tác chọn $3$ đồng liên tiếp, giữ đồng giữa, lật hai đồng ngoài. Tìm mọi $n$ để lật tất cả thành sấp.

$ABCD$ vuông tâm $O$; $M \in AB , M \ne A , B$. Qua $M$ kẻ song song $BD$ cắt $AC$ tại $N$; $DN \cap CM = E$; $DN \cap AB = F$. $a$)Chứng minh $\angle DEC$ cố định. $b ) E$ thuộc đường tròn $\left(O , OA\right)$. $c$)Tìm $M$ để $MF$ lớn nhất.

Tứ giác $ABCD , M \in AB , N \in CD , \frac{BM}{BA} = \frac{DN}{DC} = \frac{1}{3}$. Dựng bình hành $ABCE$. $I , J , O$ trung điểm $AC , BD , MN$. Chứng minh $a ) DE = 2 IJ$; $b ) O , I , J$ thẳng hàng.