VTMO 2015 — Lớp 7 — Chung kết

Xếp $1 , \ldots , 2015$ theo thứ tự bất kỳ; lấy số vị trí $i$ trừ $i$. Gọi $P$ tích $2015$ hiệu. Chứng minh $P^{2} + 2 P$ chia $8$.

$S \left[A\right]$ là tổng các tổng phần tử của mọi tập con $A$, kể cả rỗng. $a$) Tính $S \left[\{ 1 , 2 , 3 \}\right]$. $b ) C = \{ a , b , c , d \}$ là $4$ số tự nhiên khác nhau, chứng minh $S \left[C\right]$ chia $8$.

$ABC$ vuông $A , AB \lt AC$; $M$ trung điểm $BC , D$ trên tia đối $MA , MD = MA$. $B , C$ hạ vuông góc $AD$ tại $E , F$. $a ) \angle BFD = \angle CEA$. $b ) D$ hạ vuông góc $BC$ tại $K , DK$ cắt $BE$ tại $N$; chứng minh $AN = NC$. $c ) \angle ABC = 60 ^{\circ}$, tính $\angle ANC$.

$a$) Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, chứng minh $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2} + d^{2}} = \frac{ab}{cd}$, với các phân số xác định. $b$) Min $\frac{6}{| x | - 3} , x$ nguyên.

Tàu dầu $B$ cách tàu hàng $A = 100 \,\mathrm{km}$ về phía Bắc. $A$ đi Tây-Bắc $20 \frac{\,\mathrm{km}}{h} , B$ đi Đông-Nam $30 \frac{\,\mathrm{km}}{h}$. Khi gần nhau nhất, $A$ đã đi bao xa?