AMC 10A năm 2021

Giá trị của $$
(2^2-2)-(3^2-3)+(4^2-4)?
$$ là bao nhiêu

Trường trung học của Portia có số học sinh gấp $3$ lần so với trường trung học của Lara. Hai trường trung học có tổng số $2600$ học sinh. Trường trung học Portia có bao nhiêu học sinh?

Tổng của hai số tự nhiên là $17{,}402.$ Một trong hai số là chia hết cho $10.$ Nếu xóa chữ số hàng đơn vị của số đó thì thu được số còn lại. Sự khác biệt của hai con số này là gì?

Một chiếc xe lăn xuống một ngọn đồi, di chuyển $5$ inch trong giây đầu tiên và tăng tốc sao cho trong mỗi khoảng thời gian $1$-giây liên tiếp, nó di chuyển nhiều hơn $7$ inch so với khoảng $1$-giây trước đó. Xe mất $30$ giây để đến chân đồi. Nó đi được bao xa, tính bằng inch,?

Điểm bài kiểm tra của một lớp có $k > 12$ học sinh có trung bình cộng trong số $8.$ trung bình cộng của tập hợp $12$ trong số các điểm bài kiểm tra này là $14.$ trung bình cộng của điểm bài kiểm tra còn lại xét về mặt $k?$

Chantal và Jean bắt đầu đi bộ từ đầu đường mòn tới tháp cứu hỏa. Jean đang đeo một chiếc ba lô nặng nề và bước đi chậm hơn. Chantal bắt đầu đi bộ với tốc độ $4$ dặm một giờ. Đi được nửa đường đến tòa tháp, con đường trở nên rất dốc và Chantal giảm tốc độ xuống $2$ dặm một giờ. Sau khi đến tháp, cô ấy ngay lập tức quay lại và đi xuống phần dốc của con đường với tốc độ $3$ dặm một giờ. Cô ấy gặp Jean ở nửa đường. Tốc độ trung bình của Jean là bao nhiêu, tính bằng dặm một giờ, cho đến khi họ gặp nhau?

Tom có một bộ sưu tập $13$ rắn, $4$ trong số đó có màu tím và $5$ trong số đó là hạnh phúc. Anh ấy quan sát rằng

• tất cả những con rắn hạnh phúc của anh ấy có thể thêm vào,

• không con rắn tím nào của ngài có thể trừ được, và

• tất cả những con rắn của ông không trừ được cũng không cộng được.

Kết luận nào sau đây có thể được rút ra về những con rắn của Tom?

Khi một học sinh nhân số $66$ với số thập phân lặp lại, $$
\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{a} \ \underline{b}\ldots=\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}},
$$ trong đó $a$ và $b$ là các chữ số, cậu ấy không chú ý đến ký hiệu và chỉ nhân $66$ lần $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b}.$ Sau đó cậu ấy phát hiện ra rằng câu trả lời của mình là $0.5$ nhỏ hơn câu trả lời đúng. Số nguyên có chữ số $2$ $\underline{a} \ \underline{b}?$ là gì

Giá trị nhỏ nhất có thể có của $(xy-1)^2+(x+y)^2$ đối với số thực $x$ và $y?$

Điều nào sau đây tương đương với $$
\begin{aligned} &(2+3)(2^2+3^2)\\ &\quad\cdot(2^4+3^4)(2^8+3^8)\\ &\quad\cdot(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})\\ &\quad\cdot(2^{64}+3^{64})? \end{aligned}
$$

Với số nguyên nào sau đây $b$ là số cơ sở-$b$ $2021_b - 221_b$ không phải chia hết cho $3?$

Hai hình nón tròn bên phải có đỉnh hướng xuống dưới như hình bên chứa cùng một lượng chất lỏng. Bán kính đỉnh của bề mặt chất lỏng là $3$ cm và $6$ cm. Vào mỗi hình nón được thả một viên bi hình cầu có bán kính $1$ cm, chìm xuống đáy và ngập hoàn toàn mà không làm đổ bất kỳ chất lỏng nào. Tỉ lệ giữa mực chất lỏng dâng lên trong hình nón hẹp và mực chất lỏng dâng lên trong hình nón rộng là bao nhiêu?

thể tích của tứ diện $ABCD$ có độ dài cạnh $AB = 2,$ $AC = 3,$ $AD = 4,$ $BC = \sqrt{13},$ $BD = 2\sqrt{5},$ và $CD = 5?$ là gì

Tất cả các nghiệm của đa thức $$
\begin{aligned} &z^6-10z^5+Az^4+Bz^3\\ &\quad+Cz^2+Dz+16 \end{aligned}
$$ đều là số nguyên dương, có thể lặp lại. Giá trị của $B?$ là bao nhiêu

Các giá trị cho $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ phải được chọn từ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ mà không thay thế (nghĩa là không có hai chữ cái nào có cùng giá trị). Có bao nhiêu cách chọn sao cho hai đường cong $y=Ax^2+B$ và $y=Cx^2+D$ cắt nhau?

(Thứ tự liệt kê các đường cong không quan trọng; ví dụ: các lựa chọn $A=3,$$B=2,$$C=4, $$D=1$ được coi là giống như các lựa chọn $A=4,$$ B=1,$ $C=3,$ $D=2.$)

Trong danh sách các số sau đây, số nguyên $n$ xuất hiện $n$ lần trong danh sách của $1\leq n\leq200.$ $$
\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\ldots,\\ &200,200,\ldots,200 \end{aligned}
$$ trung vị của các số trong danh sách này là gì?

hình thang $ABCD$ có $\overline{AB}\parallel\overline{CD},$ $BC=CD=43,$ và $\overline{AD}\perp\overline{BD}.$ Đặt $O$ là giao điểm của các đường chéo $\overline{AC}$ và $\overline{BD},$ và đặt $P$ là điểm giữa của $\overline{BD}.$

Cho rằng $OP=11,$ độ dài của $AD$ có thể được viết dưới dạng $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. $m+n?$ là gì

Giả sử $f$ là một hàm được xác định trên tập hợp các số hữu tỉ dương có thuộc tính $f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$ cho tất cả các số hữu tỉ dương $a$ và $b.$ Giả sử rằng $f$ cũng có thuộc tính $f(p)=p$ cho mọi số nguyên tố $p.$ Cho số nào trong các số sau $x$ là $f(x) < 0?$

diện tích của vùng được giới hạn bởi biểu đồ $$
x^2+y^2 = 3|x-y| + 3|x+y|
$$ là $m+n\pi,$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên. $m + n?$ là gì

Có bao nhiêu cách sắp xếp lại dãy $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ sao cho không có ba số hạng liên tiếp nào tăng lên và không có ba số hạng liên tiếp nào giảm đi?