IMSO 2016 — Toán học — Tự luận

Viết mỗi số $1,2,3,\ldots,9$ đúng một lần trên đường tròn sao cho tổng của hai số kề nhau bất kì không chia hết cho 3, 5 hoặc 7.

Giả sử tổng của $n$ số nguyên liên tiếp (có thể gồm số nguyên dương, số 0 và số nguyên âm) bằng 55. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $n$.

Cho $a,b$ và $c$ là các chữ số khác nhau. Tích của ba số có ba chữ số $\overline{abc}$, $\overline{bca}$ và $\overline{cab}$ là số có chín chữ số, chữ số đầu là 2 và chữ số cuối là 9. Tìm tích đó.

Một nhà máy có dạng hình chữ nhật $PQRS$, với $PS=44$ m và $RS=40$ m. Nhà máy chia thành 5 phòng I, II, III, IV và V như hình. Chu vi các phòng II, III và IV bằng nhau. Phòng I ghép với phòng III, cũng như phòng V ghép với phòng III, đều tạo thành hình vuông. Tổng chu vi, theo mét, của các phòng I và V là bao nhiêu?

Số $\overline{abcab}$ chia hết cho 7, $\overline{abc}$ chia hết cho 9 và $\overline{cba}$ chia hết cho 4. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $a\times b\times c$.

Trong tam giác $ABC$, điểm $M$ là trung điểm của $BC$, $AM=CM$, $\angle ATC=56^\circ$, và $AT$ là phân giác của $\angle BAC$, như hình. Số đo theo độ của $\angle AMB$ là bao nhiêu?

Một nhóm học sinh đi tham quan bằng xe buýt. Mỗi xe có cùng số học sinh và mọi ghế đều có người ngồi. Trên đường đi, một xe hỏng. Học sinh được chia đều vào các xe còn lại, mỗi xe có 4 học sinh phải đứng. Trên đường về, thêm hai xe hỏng nên khi kết thúc chuyến đi, mỗi xe có 18 học sinh đứng. Có bao nhiêu học sinh trong chuyến đi?

Trong hình dưới, $ABCD$ và $CEFG$ là các hình bình hành, ba điểm $B,C,G$ thẳng hàng và $\angle ADE=115^\circ$. Nếu $EG=FG$, tìm $m+n+p$.

Có bao nhiêu số khác nhau gồm bốn chữ số sao cho tổng các chữ số là 9 và không dùng chữ số 0?

Cho 6 bút sáp màu khác nhau, tô mỗi mặt của một khối lập phương bằng một màu khác nhau. Sau đó ghi sáu số lên các mặt sao cho các cặp số 6 và 1; 2 và 5; 3 và 4 nằm trên các mặt đối diện. Có thể tạo bao nhiêu khối lập phương khác nhau? (Hai khối được coi là giống nhau nếu có thể xoay một khối để trùng với khối kia.)

Hình dưới biểu diễn một dãy tháp làm bằng tăm. Tháp thứ 10 cần bao nhiêu que tăm?

Số có hai chữ số $\overline{ab}$ và số $\overline{ab}+45$ được gọi là tương tự nếu tổng các chữ số của $\overline{ab}$ bằng tổng các chữ số của $\overline{ab}+45$. Ví dụ: 15 và $15+45=60$ tương tự vì tổng các chữ số của mỗi số đều bằng 6. Có bao nhiêu cặp số tương tự?

Có bao nhiêu cách chọn ba số khác nhau trong các số từ 1 đến 15 sao cho tổng của chúng là bội của 4?